Номер 49, страница 18 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус трассы: $R$

Скорость первого мотоциклиста: $v_1$

Скорость второго мотоциклиста: $v_2$

Соотношение скоростей: $v_1 = 2v_2$

Найти:

Модуль перемещения второго мотоциклиста: $|\Delta\vec{r_2}|$

Решение:

1. Найдем время $t$, за которое первый мотоциклист, стартовавший из точки А, достигнет точки В. Поскольку точки А и В являются диаметрально противоположными, путь первого мотоциклиста $s_1$ равен длине половины окружности.

Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi R$.

Следовательно, путь первого мотоциклиста: $s_1 = \frac{L}{2} = \pi R$.

Модуль скорости первого мотоциклиста постоянен, поэтому время движения $t$ можно найти как:

$t = \frac{s_1}{v_1} = \frac{\pi R}{v_1}$

2. За это же время $t$ второй мотоциклист, стартовавший из точки В, пройдет путь $s_2$.

$s_2 = v_2 \cdot t = v_2 \cdot \frac{\pi R}{v_1}$

Используя заданное в условии соотношение $v_1 = 2v_2$, подставим его в формулу для $s_2$:

$s_2 = v_2 \cdot \frac{\pi R}{2v_2} = \frac{\pi R}{2}$

3. Путь $s_2$ представляет собой длину дуги, которую проехал второй мотоциклист. Найдем центральный угол $\alpha$, который соответствует этой дуге. Длина дуги связана с радиусом и углом (в радианах) формулой $s = \alpha R$.

$\alpha = \frac{s_2}{R} = \frac{\pi R / 2}{R} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Угол $\frac{\pi}{2}$ радиан равен 90°. Это означает, что второй мотоциклист сместился из своего начального положения (точка В) по окружности на угол 90°.

4. Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. В данном случае это хорда, стягивающая дугу, по которой двигался второй мотоциклист. Начальное положение - точка B, конечное - некоторая точка C. Векторы, проведенные из центра окружности O в точки B и C (радиусы OB и OC), образуют между собой угол $\alpha = 90°$.

Радиусы OB, OC и вектор перемещения $\Delta\vec{r_2}$ (хорда BC) образуют равнобедренный прямоугольный треугольник OBC, где $|OB| = |OC| = R$ - катеты, а модуль перемещения $|\Delta\vec{r_2}|$ - гипотенуза.

По теореме Пифагора:

$|\Delta\vec{r_2}|^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$

Отсюда находим модуль перемещения:

$|\Delta\vec{r_2}| = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Ответ: $R\sqrt{2}$.