Номер 795, страница 156 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Уравнение движения: $x = A + Bt + Ct^2$

Коэффициенты:

$A = 20 \text{ м}$

$B = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$C = 5,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Координаты:

$x_1 = 35 \text{ м}$

$x_2 = 95 \text{ м}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\frac{|p_2|}{|p_1|}$ - отношение модулей импульса автомобиля в моменты времени, когда он находится в точках $x_2$ и $x_1$.

Решение:

Импульс тела определяется по формуле $p = mv$, где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость. Отношение модулей импульса в двух точках равно отношению модулей скоростей в этих точках, так как масса автомобиля не меняется: $\frac{|p_2|}{|p_1|} = \frac{m|v_2|}{m|v_1|} = \frac{|v_2|}{|v_1|}$.

Скорость является первой производной от координаты по времени. Найдем зависимость скорости от времени $v(t)$: $v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A + Bt + Ct^2) = B + 2Ct$.

Чтобы найти скорости $v_1$ и $v_2$, нужно определить моменты времени $t_1$ и $t_2$, в которые автомобиль находился в точках с координатами $x_1$ и $x_2$.

1. Найдем время $t_1$ для координаты $x_1 = 35 \text{ м}$. Подставим известные значения в уравнение движения: $35 = 20 + 10t_1 + 5t_1^2$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $5t_1^2 + 10t_1 + 20 - 35 = 0$ $5t_1^2 + 10t_1 - 15 = 0$ Разделим все уравнение на 5 для упрощения: $t_1^2 + 2t_1 - 3 = 0$ Решим это квадратное уравнение. Его корни: $t_{1,1} = 1$ и $t_{1,2} = -3$. Поскольку время не может быть отрицательным, физический смысл имеет только положительный корень: $t_1 = 1 \text{ с}$.

2. Найдем время $t_2$ для координаты $x_2 = 95 \text{ м}$: $95 = 20 + 10t_2 + 5t_2^2$ $5t_2^2 + 10t_2 + 20 - 95 = 0$ $5t_2^2 + 10t_2 - 75 = 0$ Разделим все уравнение на 5: $t_2^2 + 2t_2 - 15 = 0$ Корни этого уравнения: $t_{2,1} = 3$ и $t_{2,2} = -5$. Выбираем положительный корень: $t_2 = 3 \text{ с}$.

3. Теперь вычислим скорости $v_1$ и $v_2$ в найденные моменты времени, используя формулу $v(t) = B + 2Ct$: $v_1 = v(t_1) = 10 + 2 \cdot 5,0 \cdot 1 = 10 + 10 = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. $v_2 = v(t_2) = 10 + 2 \cdot 5,0 \cdot 3 = 10 + 30 = 40 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

4. Найдем отношение модулей импульса: $\frac{|p_2|}{|p_1|} = \frac{|v_2|}{|v_1|} = \frac{|40|}{|20|} = 2$.

Ответ: модуль импульса автомобиля в точке с координатой $x_2 = 95$ м в 2 раза больше, чем в точке с координатой $x_1 = 35$ м.