Номер 851, страница 166 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$l = 5,0$ м

$m = 75$ кг

$m_1 = 45$ кг

$m_2 = 30$ кг

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

$S$ - модуль перемещения тележки.

Решение:

Систему тел «тележка + два мальчика» можно считать замкнутой в горизонтальном направлении, так как рельсы гладкие (трение отсутствует), а силы тяжести и реакции опоры скомпенсированы. Начальная скорость системы равна нулю. Следовательно, положение центра масс системы в процессе движения мальчиков меняться не будет.

Введем систему координат, связанную с землей. Ось $Ox$ направим вдоль рельсов. Пусть в начальный момент времени первый мальчик ($m_1$) находится в точке с координатой $x_1 = 0$, а второй мальчик ($m_2$) — в точке $x_2 = l$. Центр тележки будет иметь координату $x_т = l/2$.

Начальная координата центра масс системы:$X_{ц.м.1} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m x_т}{m_1 + m_2 + m} = \frac{m_1 \cdot 0 + m_2 l + m \frac{l}{2}}{m_1 + m_2 + m}$

После того как мальчики поменяются местами, тележка переместится на некоторое расстояние $S$. Новая координата центра тележки станет $x'_т = \frac{l}{2} + S$.

Теперь первый мальчик окажется на правом конце тележки, его новая координата будет $x'_1 = l + S$. Второй мальчик окажется на левом конце тележки, его новая координата будет $x'_2 = 0 + S = S$.

Конечная координата центра масс системы:$X_{ц.м.2} = \frac{m_1 x'_1 + m_2 x'_2 + m x'_т}{m_1 + m_2 + m} = \frac{m_1 (l + S) + m_2 S + m (\frac{l}{2} + S)}{m_1 + m_2 + m}$

Так как положение центра масс не меняется, $X_{ц.м.1} = X_{ц.м.2}$. Приравняем числители выражений:

$m_2 l + m \frac{l}{2} = m_1 (l + S) + m_2 S + m (\frac{l}{2} + S)$

$m_2 l + m \frac{l}{2} = m_1 l + m_1 S + m_2 S + m \frac{l}{2} + m S$

Сократим одинаковые слагаемые $m \frac{l}{2}$:

$m_2 l = m_1 l + S (m_1 + m_2 + m)$

Выразим перемещение тележки $S$:

$S (m_1 + m_2 + m) = m_2 l - m_1 l$

$S = \frac{(m_2 - m_1)l}{m_1 + m_2 + m}$

Подставим числовые значения:

$S = \frac{(30 - 45) \cdot 5,0}{45 + 30 + 75} = \frac{-15 \cdot 5,0}{150} = \frac{-75}{150} = -0,5$ м

Знак «минус» указывает на то, что тележка сдвинулась в сторону, противоположную направлению оси $Ox$, то есть в сторону первоначального положения более тяжелого мальчика. Нас интересует модуль перемещения:

$|S| = |-0,5 \text{ м}| = 0,5$ м

Ответ: модуль перемещения тележки равен 0,5 м.