Номер 849, страница 165 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_л$ - масса каждой из двух одинаковых лодок;
$m_ч$ - масса человека;
$m_в$ - масса веревки;
$L$ - начальное расстояние между лодками.

Найти:

Как изменятся положения лодок?

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух лодок, человека и веревки. Силы, с которыми человек тянет веревку, являются внутренними для этой системы. Если пренебречь внешними силами (сопротивлением воды и воздуха), то для данной системы будет выполняться закон сохранения импульса. Поскольку в начальный момент времени система покоилась, ее суммарный импульс был равен нулю. Следовательно, он останется равным нулю и в процессе движения. Это означает, что центр масс системы будет оставаться неподвижным.

Когда человек тянет за веревку, он прикладывает силу к веревке, а веревка, по третьему закону Ньютона, действует на него (и на вторую лодку, в которой он находится) с такой же по модулю, но противоположно направленной силой. Одновременно натяжение веревки передается ее второму концу, который привязан к первой лодке. В результате обе лодки начинают двигаться навстречу друг другу. Движение прекратится, когда лодки встретятся. Так как центр масс системы неподвижен, лодки встретятся в точке, где первоначально находился центр масс всей системы.

Чтобы определить, какая из лодок пройдет большее расстояние, найдем положение центра масс системы. Введем систему координат, направив ось $Ox$ от первой (пустой) лодки ко второй (с человеком). Пусть в начальный момент времени первая лодка находится в точке с координатой $x_1 = 0$, а вторая — в точке с координатой $x_2 = L$.

Масса первой лодки равна $m_л$. Масса второй лодки вместе с человеком равна $m_л + m_ч$. Веревка, масса которой $m_в$, равномерно распределена между лодками, поэтому ее центр масс находится посередине, в точке с координатой $x_в = L/2$.

Координата центра масс всей системы в начальный момент времени: $X_{ЦМ} = \frac{m_л \cdot x_1 + (m_л + m_ч) \cdot x_2 + m_в \cdot x_в}{m_л + (m_л + m_ч) + m_в} = \frac{m_л \cdot 0 + (m_л + m_ч) \cdot L + m_в \cdot \frac{L}{2}}{2m_л + m_ч + m_в} = \frac{(m_л + m_ч + \frac{1}{2}m_в)L}{2m_л + m_ч + m_в}$

Поскольку лодки встретятся в точке $X_{ЦМ}$, то первая лодка пройдет путь $S_1 = X_{ЦМ}$, а вторая лодка — путь $S_2 = L - X_{ЦМ}$.

$S_1 = \frac{(m_л + m_ч + \frac{1}{2}m_в)L}{2m_л + m_ч + m_в}$

$S_2 = L - \frac{(m_л + m_ч + \frac{1}{2}m_в)L}{2m_л + m_ч + m_в} = \frac{(2m_л + m_ч + m_в)L - (m_л + m_ч + \frac{1}{2}m_в)L}{2m_л + m_ч + m_в} = \frac{(m_л + \frac{1}{2}m_в)L}{2m_л + m_ч + m_в}$

Сравним пройденные пути $S_1$ и $S_2$. Для этого найдем их разность: $S_1 - S_2 = \frac{(m_л + m_ч + \frac{1}{2}m_в)L}{2m_л + m_ч + m_в} - \frac{(m_л + \frac{1}{2}m_в)L}{2m_л + m_ч + m_в} = \frac{(m_л + m_ч + \frac{1}{2}m_в - m_л - \frac{1}{2}m_в)L}{2m_л + m_ч + m_в} = \frac{m_ч L}{2m_л + m_ч + m_в}$

Так как масса человека $m_ч > 0$ и начальное расстояние $L > 0$, то разность $S_1 - S_2$ положительна. Следовательно, $S_1 > S_2$. Это означает, что первая, пустая лодка пройдет большее расстояние, чем вторая лодка с человеком.

Ответ:Обе лодки будут двигаться навстречу друг другу до тех пор, пока не встретятся. Они встретятся в точке, где находился начальный центр масс системы (обе лодки, человек, веревка). При этом пустая лодка пройдет большее расстояние, чем лодка с человеком.