Номер 845, страница 165 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса тележки $m_1 = 0,12 \text{ т}$

Масса мальчика $m_2 = 40 \text{ кг}$

Скорость мальчика относительно тележки $v = 8,0 \frac{м}{с}$

Угол прыжка к горизонту $\alpha = 60^\circ$

$m_1 = 0,12 \text{ т} = 120 \text{ кг}$

Найти:

Модуль скорости тележки $u_1$

Решение:

Система, состоящая из мальчика и тележки, является замкнутой в горизонтальном направлении, так как поверхность гладкая, и трение отсутствует. Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры действуют по вертикали и скомпенсированы. Следовательно, для проекции на горизонтальную ось выполняется закон сохранения импульса.

Изначально мальчик и тележка покоились, поэтому суммарный импульс системы до прыжка был равен нулю.

$P_{нач} = 0$

После прыжка тележка приобретает скорость $\vec{u_1}$ относительно земли, а мальчик — скорость $\vec{u_2}$ относительно земли. Суммарный импульс системы после прыжка равен:

$\vec{P}_{кон} = m_1 \vec{u_1} + m_2 \vec{u_2}$

Согласно закону сохранения импульса:

$m_1 \vec{u_1} + m_2 \vec{u_2} = 0$

Скорость мальчика относительно земли $\vec{u_2}$ связана со скоростью его движения относительно тележки $\vec{v}$ и скоростью самой тележки $\vec{u_1}$ по закону сложения скоростей:

$\vec{u_2} = \vec{v} + \vec{u_1}$

Подставим это выражение в закон сохранения импульса:

$m_1 \vec{u_1} + m_2 (\vec{v} + \vec{u_1}) = 0$

Выберем горизонтальную ось Ox, направленную в сторону прыжка мальчика. Тележка будет двигаться в противоположном направлении. Движение тележки происходит только по горизонтали. Спроецируем векторное уравнение на ось Ox.

Скорость тележки $\vec{u_1}$ направлена против оси Ox, поэтому её проекция $u_{1x} = -u_1$.

Скорость мальчика относительно тележки $\vec{v}$ направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Её проекция на ось Ox равна $v_x = v \cos \alpha$.

Проекция уравнения сохранения импульса на ось Ox:

$m_1 u_{1x} + m_2 (v_x + u_{1x}) = 0$

$m_1 (-u_1) + m_2 (v \cos \alpha - u_1) = 0$

Раскроем скобки и выразим искомую скорость $u_1$:

$-m_1 u_1 + m_2 v \cos \alpha - m_2 u_1 = 0$

$m_2 v \cos \alpha = m_1 u_1 + m_2 u_1$

$m_2 v \cos \alpha = u_1 (m_1 + m_2)$

$u_1 = \frac{m_2 v \cos \alpha}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$u_1 = \frac{40 \text{ кг} \cdot 8,0 \frac{м}{с} \cdot \cos 60^\circ}{120 \text{ кг} + 40 \text{ кг}} = \frac{320 \cdot 0,5}{160} = \frac{160}{160} = 1,0 \frac{м}{с}$

Ответ: $1,0 \frac{м}{с}$.