Номер 840, страница 164 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_0 = 50$ м/с

$m_1 = 8,0$ кг

$m_2 = 2,0$ кг

$v_1 = 100$ м/с

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

$v_2$

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения импульса. Разрыв снаряда является внутренним процессом для системы, состоящей из двух осколков, поэтому суммарный импульс системы до разрыва равен суммарному импульсу системы после разрыва.

Сначала найдем массу всего снаряда до разрыва:

$M = m_1 + m_2 = 8,0 \text{ кг} + 2,0 \text{ кг} = 10,0 \text{ кг}$

Закон сохранения импульса в векторной форме выглядит следующим образом:

$M \vec{v_0} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$

где $\vec{v_0}$ - скорость снаряда до разрыва, а $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ - скорости осколков после разрыва.

Для решения введем декартову систему координат. Направим ось Ox горизонтально, по направлению начального движения снаряда, а ось Oy - вертикально вверх. В этой системе координат вектор начальной скорости снаряда имеет компоненты $\vec{v_0} = (v_0; 0)$.

Скорость большего осколка $\vec{v_1}$ направлена под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту вниз и вперед. Найдем проекции этого вектора на оси координат:

$v_{1x} = v_1 \cos\alpha$

$v_{1y} = -v_1 \sin\alpha$ (знак «минус» указывает на то, что скорость направлена вниз, против оси Oy)

Пусть скорость меньшего осколка $\vec{v_2}$ имеет проекции $v_{2x}$ и $v_{2y}$.

Теперь запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси Ox и Oy.

Проекция на ось Ox:

$M v_0 = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}$

$M v_0 = m_1 v_1 \cos\alpha + m_2 v_{2x}$

Проекция на ось Oy:

$0 = m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y}$

$0 = m_1 (-v_1 \sin\alpha) + m_2 v_{2y}$

Из полученных уравнений выразим проекции скорости меньшего осколка $v_{2x}$ и $v_{2y}$.

Из уравнения для оси Ox найдем $v_{2x}$:

$v_{2x} = \frac{M v_0 - m_1 v_1 \cos\alpha}{m_2}$

Подставим числовые значения:

$v_{2x} = \frac{10,0 \cdot 50 - 8,0 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ}{2,0} = \frac{500 - 800 \cdot 0,5}{2,0} = \frac{500 - 400}{2,0} = \frac{100}{2,0} = 50$ м/с.

Из уравнения для оси Oy найдем $v_{2y}$:

$m_2 v_{2y} = m_1 v_1 \sin\alpha$

$v_{2y} = \frac{m_1 v_1 \sin\alpha}{m_2}$

Подставим числовые значения:

$v_{2y} = \frac{8,0 \cdot 100 \cdot \sin 60^\circ}{2,0} = 4,0 \cdot 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3}$ м/с.

Теперь, зная обе проекции скорости меньшего осколка, найдем ее модуль по теореме Пифагора:

$v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2}$

$v_2 = \sqrt{50^2 + (200\sqrt{3})^2} = \sqrt{2500 + 40000 \cdot 3} = \sqrt{2500 + 120000} = \sqrt{122500}$ м/с.

Вычислим корень:

$v_2 = \sqrt{122500} = \sqrt{1225 \cdot 100} = 35 \cdot 10 = 350$ м/с.

Ответ: модуль скорости движения меньшего осколка равен 350 м/с.