Номер 838, страница 163 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$v_0 = 40 \frac{м}{с}$

$m_1 = 5,0 \text{ кг}$

$m_2 = 10 \text{ кг}$

$v_1 = 160 \frac{м}{с}$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$v_2$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из ядра. Разрыв ядра является внутренним процессом. Поскольку разрыв происходит за очень короткий промежуток времени, импульсом внешней силы (силы тяжести) можно пренебречь по сравнению с импульсом внутренних сил. Следовательно, для данной системы выполняется закон сохранения импульса: суммарный импульс системы до разрыва равен суммарному импульсу системы после разрыва.

В векторной форме закон сохранения импульса записывается так:

$\vec{p}_{0} = \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}$

Здесь $\vec{p}_{0}$ — импульс ядра до разрыва, а $\vec{p}_{1}$ и $\vec{p}_{2}$ — импульсы двух осколков после разрыва.

Масса ядра до разрыва равна сумме масс осколков: $M = m_1 + m_2$.

Тогда импульс ядра до разрыва: $\vec{p}_{0} = (m_1 + m_2)\vec{v}_0$.

Введем декартову систему координат. Направим ось $Ox$ горизонтально, по направлению начальной скорости ядра $\vec{v}_0$. Ось $Oy$ направим вертикально вверх.

В этой системе координат векторы скоростей до разрыва и первого (меньшего) осколка после разрыва можно записать в виде проекций:

$\vec{v}_0 = \{v_0; 0\}$

$\vec{v}_1 = \{0; -v_1\}$ (скорость направлена вертикально вниз).

Скорость второго (большего) осколка $\vec{v}_2$ имеет две компоненты, которые нам предстоит найти: $\vec{v}_2 = \{v_{2x}; v_{2y}\}$.

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси координат.

Проекция на ось $Ox$:

$(m_1 + m_2) v_0 = m_1 \cdot 0 + m_2 v_{2x}$

Отсюда находим горизонтальную составляющую скорости второго осколка:

$v_{2x} = \frac{(m_1 + m_2)v_0}{m_2}$

Проекция на ось $Oy$:

$(m_1 + m_2) \cdot 0 = m_1(-v_1) + m_2 v_{2y}$

$m_2 v_{2y} = m_1 v_1$

Отсюда находим вертикальную составляющую скорости второго осколка:

$v_{2y} = \frac{m_1 v_1}{m_2}$

Теперь подставим числовые значения и вычислим проекции скорости $v_{2x}$ и $v_{2y}$.

$v_{2x} = \frac{(5,0 \text{ кг} + 10 \text{ кг}) \cdot 40 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{10 \text{ кг}} = \frac{15 \cdot 40}{10} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 60 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_{2y} = \frac{5,0 \text{ кг} \cdot 160 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{10 \text{ кг}} = \frac{800}{10} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 80 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Мы нашли компоненты вектора скорости второго осколка $\vec{v}_2 = \{60; 80\}$. Модуль скорости $v_2$ найдем по теореме Пифагора:

$v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2}$

$v_2 = \sqrt{(60 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 + (80 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2} = \sqrt{3600 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} + 6400 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = \sqrt{10000 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 100 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $100 \frac{м}{с}$.