Номер 839, страница 164 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 1.0$ кг
$v_1 = 0.40 \frac{км}{с}$
$m_2 = 1.5$ кг
$v_2 = 0.20 \frac{км}{с}$
$m_3 = 2.0$ кг

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 0.40 \cdot 1000 \frac{м}{с} = 400 \frac{м}{с}$
$v_2 = 0.20 \cdot 1000 \frac{м}{с} = 200 \frac{м}{с}$

Найти:

$v_3$

Решение:

Согласно условию, снаряд разорвался в верхней точке траектории. В этой точке его вертикальная составляющая скорости равна нулю. Так как снаряд был выпущен вертикально вверх, его горизонтальная составляющая скорости также равна нулю. Следовательно, импульс снаряда непосредственно перед разрывом был равен нулю: $\vec{P}_{до} = 0$.

Разрыв снаряда — это внутренний процесс для системы, состоящей из осколков. Внешними силами (силой тяжести) за короткое время разрыва можно пренебречь. Следовательно, для системы осколков выполняется закон сохранения импульса: суммарный импульс всех осколков после разрыва равен импульсу снаряда до разрыва.

$\vec{P}_{после} = \vec{P}_{до}$

$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$

где $\vec{p}_1 = m_1 \vec{v}_1$, $\vec{p}_2 = m_2 \vec{v}_2$ и $\vec{p}_3 = m_3 \vec{v}_3$ – импульсы первого, второго и третьего осколков соответственно.

Из этого уравнения следует, что векторная сумма импульсов осколков равна нулю. Выразим импульс третьего осколка:

$\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Направим ось $OX$ горизонтально (в направлении полета первого осколка), а ось $OY$ – вертикально вверх (в направлении полета второго осколка). Точку разрыва примем за начало координат.

В этой системе координат проекции импульсов первого и второго осколков на оси будут:

$\vec{p}_1: (p_{1x}, p_{1y}) = (m_1 v_1, 0)$

$\vec{p}_2: (p_{2x}, p_{2y}) = (0, m_2 v_2)$

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси координат:

На ось $OX$: $p_{1x} + p_{2x} + p_{3x} = 0 \implies m_1 v_1 + 0 + p_{3x} = 0 \implies p_{3x} = -m_1 v_1$

На ось $OY$: $p_{1y} + p_{2y} + p_{3y} = 0 \implies 0 + m_2 v_2 + p_{3y} = 0 \implies p_{3y} = -m_2 v_2$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$p_{3x} = -1.0 \text{ кг} \cdot 400 \frac{м}{с} = -400 \frac{кг \cdot м}{с}$

$p_{3y} = -1.5 \text{ кг} \cdot 200 \frac{м}{с} = -300 \frac{кг \cdot м}{с}$

Модуль импульса третьего осколка $p_3$ найдем по теореме Пифагора, так как мы нашли его перпендикулярные составляющие:

$p_3 = \sqrt{p_{3x}^2 + p_{3y}^2} = \sqrt{(-400)^2 + (-300)^2} = \sqrt{160000 + 90000} = \sqrt{250000} = 500 \frac{кг \cdot м}{с}$

Теперь можем найти модуль скорости третьего осколка, зная его импульс и массу:

$v_3 = \frac{p_3}{m_3}$

$v_3 = \frac{500 \frac{кг \cdot м}{с}}{2.0 \text{ кг}} = 250 \frac{м}{с}$

Ответ: модуль скорости движения третьего осколка равен $250 \frac{м}{с}$.