Номер 835, страница 163 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Начальная скорость ракеты $v_0 = 40 \text{ м/с}$

Скорость падения первой части $v_1 = 50 \text{ м/с}$

Массы частей после разрыва равны: $m_1 = m_2$

Ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$ (стандартное значение для учебных задач)

Найти:

$T_2$ — полное время нахождения второй части ракеты в воздухе.

Решение:

Процесс можно разделить на три этапа: полет ракеты до верхней точки, разрыв ракеты и полет второй части после разрыва.

1. Определение высоты и времени подъема ракеты до разрыва.

Ракета движется вертикально вверх. В верхней точке ее траектории скорость мгновенно становится равной нулю. Время подъема ракеты $t_{подъема}$ найдем из уравнения скорости для равноускоренного движения:

$v = v_0 - gt$

При $v=0$:

$0 = v_0 - gt_{подъема} \implies t_{подъема} = \frac{v_0}{g}$

$t_{подъема} = \frac{40 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 4 \text{ с}$

Максимальную высоту подъема $h$ найдем из формулы, связывающей скорость и перемещение:

$h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(40 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{1600}{20} \text{ м} = 80 \text{ м}$

2. Анализ разрыва ракеты.

В верхней точке траектории, где скорость ракеты равна нулю, ее импульс также равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс двух частей сразу после разрыва тоже должен быть равен нулю. Так как массы частей одинаковы ($m_1=m_2=m$), а их скорости после разрыва равны $u_1$ и $u_2$:

$0 = mu_1 + mu_2 \implies u_1 = -u_2$

Это означает, что части разлетаются в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями. По условию, вторая часть полетела вверх ($u_2>0$), значит первая полетела вниз ($u_1<0$). Обозначим модуль их скорости как $u$.

3. Определение скорости частей после разрыва.

Рассмотрим движение первой части. Она начинает падать с высоты $h=80 \text{ м}$ с начальной скоростью $u$, направленной вниз. Приземляется она со скоростью $v_1=50 \text{ м/с}$. Воспользуемся законом сохранения энергии для первой части (или кинематической формулой $v_{кон}^2 = v_{нач}^2 + 2gh$):

$v_1^2 = u^2 + 2gh$

Выразим отсюда $u$:

$u^2 = v_1^2 - 2gh = v_1^2 - 2g \cdot \frac{v_0^2}{2g} = v_1^2 - v_0^2$

$u = \sqrt{v_1^2 - v_0^2} = \sqrt{(50 \text{ м/с})^2 - (40 \text{ м/с})^2} = \sqrt{2500 - 1600} = \sqrt{900} = 30 \text{ м/с}$

Итак, скорость второй части сразу после разрыва $u_2 = 30 \text{ м/с}$ и направлена вертикально вверх.

4. Определение времени полета второй части после разрыва.

Вторая часть начинает свое движение с высоты $h=80 \text{ м}$ с начальной скоростью $u=30 \text{ м/с}$, направленной вверх. Найдем время ее полета до земли, $t_{полета2}$, из уравнения движения (считая начало координат на земле, а ось OY направленной вверх):

$y(t) = h + ut - \frac{gt^2}{2}$

При падении на землю $y=0$:

$0 = 80 + 30t_{полета2} - \frac{10}{2}t_{полета2}^2$

$5t_{полета2}^2 - 30t_{полета2} - 80 = 0$

Разделим уравнение на 5:

$t_{полета2}^2 - 6t_{полета2} - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.

$t_{полета2} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}$

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

$t_{полета2} = \frac{6 + 10}{2} = 8 \text{ с}$

5. Расчет общего времени нахождения второй части в воздухе.

Общее время $T_2$ равно сумме времени подъема ракеты до разрыва и времени полета второй части после разрыва:

$T_2 = t_{подъема} + t_{полета2} = 4 \text{ с} + 8 \text{ с} = 12 \text{ с}$

Ответ: вторая часть находилась в воздухе в течение 12 с.