Номер 828, страница 161 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Модуль начальной скорости каждого шарика, $v_0 = 1,5 \, \text{м/с}$

Модуль конечной скорости шариков, $v = 0,75 \, \text{м/с}$

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение масс шариков, $\frac{m_1}{m_2}$.

Решение:

Воспользуемся законом сохранения импульса. Поскольку шарики движутся навстречу друг другу, а после столкновения движутся вместе, имеет место абсолютно неупругий удар.

Обозначим массы шариков как $m_1$ и $m_2$. Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и направим ось OX по направлению движения первого шарика до столкновения. Тогда проекция его начальной скорости на эту ось будет $v_{1x} = v_0$. Второй шарик движется навстречу, поэтому проекция его скорости будет $v_{2x} = -v_0$.

Суммарный импульс системы до столкновения в проекции на ось OX равен:

$p_{x, до} = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v_0 - m_2 v_0 = (m_1 - m_2)v_0$

После столкновения шарики движутся как единое целое с общей массой $(m_1 + m_2)$ и скоростью $v$. Направление этой скорости будет совпадать с направлением движения более массивного шарика. Предположим, что $m_1 > m_2$. Тогда суммарный начальный импульс направлен по оси OX, и конечная скорость $v$ также будет направлена по оси OX.

Импульс системы после столкновения в проекции на ось OX:

$p_{x, после} = (m_1 + m_2)v$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{x, до} = p_{x, после}$:

$(m_1 - m_2)v_0 = (m_1 + m_2)v$

Наша цель - найти отношение масс $\frac{m_1}{m_2}$. Для этого раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$m_1 v_0 - m_2 v_0 = m_1 v + m_2 v$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $m_1$ и $m_2$, по разным сторонам равенства:

$m_1 v_0 - m_1 v = m_2 v + m_2 v_0$

Вынесем массы за скобки:

$m_1(v_0 - v) = m_2(v_0 + v)$

Отсюда выразим искомое отношение масс:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_0 + v}{v_0 - v}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1,5 + 0,75}{1,5 - 0,75} = \frac{2,25}{0,75} = 3$

Так как полученное отношение больше единицы, наше первоначальное предположение, что $m_1 > m_2$, было верным. Если бы мы предположили, что $m_2 > m_1$, конечная скорость была бы направлена против оси OX ($v_x = -v$), и мы бы получили отношение $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$, что соответствует тому же результату: отношение большей массы к меньшей равно 3.

Ответ: отношение масс шариков равно 3.