Номер 821, страница 160 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первой частицы: $m_1 = m$

Масса второй частицы: $m_2 = 2m$

Модуль начальной скорости первой частицы: $|\vec{v}_{1,нач}| = v$

Модуль начальной скорости второй частицы: $|\vec{v}_{2,нач}| = 2v$

Начальные скорости взаимно перпендикулярны: $\vec{v}_{1,нач} \perp \vec{v}_{2,нач}$

На обе частицы действует одинаковая сила $\vec{F}$ в течение времени $\Delta t$.

Модуль конечной скорости первой частицы: $|\vec{v}_{1,кон}| = 2v$

Направление конечной скорости первой частицы противоположно начальному: $\vec{v}_{1,кон} = -2\frac{\vec{v}_{1,нач}}{|\vec{v}_{1,нач}|} \cdot |\vec{v}_{1,нач}| = -2\vec{v}_{1,нач}$

Найти:

Модуль конечной скорости второй частицы: $|\vec{v}_{2,кон}|$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом изменения импульса в векторной форме. Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на него:

$\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$

где $\Delta \vec{p} = \vec{p}_{кон} - \vec{p}_{нач}$ – изменение импульса частицы.

Поскольку на обе частицы действуют одинаковые силы в течение одного и того же промежутка времени, импульсы сил, сообщенные частицам, одинаковы: $\vec{J} = \vec{F} \Delta t$.

Найдем этот импульс, рассмотрев движение первой частицы.

Начальный импульс первой частицы: $\vec{p}_{1,нач} = m_1 \vec{v}_{1,нач} = m \vec{v}_{1,нач}$.

Конечный импульс первой частицы: по условию, $\vec{v}_{1,кон}$ направлена противоположно $\vec{v}_{1,нач}$ и ее модуль равен $2v$. Следовательно, $\vec{v}_{1,кон} = -2\vec{v}_{1,нач}$. Тогда конечный импульс: $\vec{p}_{1,кон} = m_1 \vec{v}_{1,кон} = m(-2\vec{v}_{1,нач}) = -2m\vec{v}_{1,нач}$.

Изменение импульса первой частицы равно импульсу силы:

$\vec{J} = \Delta \vec{p}_1 = \vec{p}_{1,кон} - \vec{p}_{1,нач} = -2m\vec{v}_{1,нач} - m\vec{v}_{1,нач} = -3m\vec{v}_{1,нач}$.

Теперь рассмотрим вторую частицу. На нее действует такой же импульс силы $\vec{J}$.

Изменение импульса второй частицы:

$\Delta \vec{p}_2 = \vec{J} = -3m\vec{v}_{1,нач}$.

Конечный импульс второй частицы $\vec{p}_{2,кон}$ можно найти из соотношения:

$\vec{p}_{2,кон} = \vec{p}_{2,нач} + \Delta \vec{p}_2$.

Начальный импульс второй частицы: $\vec{p}_{2,нач} = m_2 \vec{v}_{2,нач} = 2m \vec{v}_{2,нач}$.

Подставим известные значения:

$\vec{p}_{2,кон} = 2m \vec{v}_{2,нач} - 3m\vec{v}_{1,нач}$.

Чтобы найти модуль конечной скорости второй частицы, сначала найдем модуль ее конечного импульса $|\vec{p}_{2,кон}|$. Так как по условию векторы начальных скоростей $\vec{v}_{1,нач}$ и $\vec{v}_{2,нач}$ взаимно перпендикулярны, то векторы $2m \vec{v}_{2,нач}$ и $-3m\vec{v}_{1,нач}$ также перпендикулярны. Модуль их векторной суммы можно найти по теореме Пифагора:

$|\vec{p}_{2,кон}| = \sqrt{|2m \vec{v}_{2,нач}|^2 + |-3m\vec{v}_{1,нач}|^2}$.

Подставим модули скоростей $|\vec{v}_{1,нач}| = v$ и $|\vec{v}_{2,нач}| = 2v$:

$|\vec{p}_{2,кон}| = \sqrt{(2m \cdot 2v)^2 + (3m \cdot v)^2} = \sqrt{(4mv)^2 + (3mv)^2} = \sqrt{16m^2v^2 + 9m^2v^2} = \sqrt{25m^2v^2} = 5mv$.

Модуль конечного импульса второй частицы связан с модулем ее конечной скорости соотношением $|\vec{p}_{2,кон}| = m_2 |\vec{v}_{2,кон}|$.

Отсюда находим искомую скорость:

$|\vec{v}_{2,кон}| = \frac{|\vec{p}_{2,кон}|}{m_2} = \frac{5mv}{2m} = \frac{5}{2}v = 2.5v$.

Ответ: $2.5v$