Номер 820, страница 160 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:
Закон изменения координаты: $x(t) = A_1 + B_1t + C_1t^2$
$A_1 = -6,0 \text{ м}$
$B_1 = 3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$C_1 = -0,25 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
Закон изменения проекции импульса: $p_x(t) = A_2 + B_2t$
$A_2 = 12 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$
$B_2 = -2,0 \text{ Н}$

Найти:
Массу самоката $m$
Модуль равнодействующей сил $F$

Решение:

1. Определение массы самоката (m)
Проекция импульса тела на ось Ox связана с проекцией его скорости $v_x$ и массой $m$ соотношением: $p_x = m v_x$.
Проекцию скорости $v_x$ можно найти как производную от координаты $x$ по времени $t$:
$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A_1 + B_1t + C_1t^2) = B_1 + 2C_1t$.
Подставим известные коэффициенты, чтобы найти зависимость скорости от времени:
$v_x(t) = 3,0 + 2 \cdot (-0,25)t = 3,0 - 0,5t \text{ (в м/с)}$.
Теперь выразим проекцию импульса через найденную скорость и массу:
$p_x(t) = m \cdot v_x(t) = m \cdot (B_1 + 2C_1t) = mB_1 + 2mC_1t$.
Нам также дан закон изменения импульса: $p_x(t) = A_2 + B_2t$.
Приравняем два выражения для $p_x(t)$:
$mB_1 + 2mC_1t = A_2 + B_2t$.
Это равенство должно выполняться для любого момента времени $t$. Следовательно, мы можем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $t$:
Для членов без $t$: $mB_1 = A_2$.
Для членов с $t$: $2mC_1 = B_2$.
Из первого равенства можем выразить массу $m$:
$m = \frac{A_2}{B_1} = \frac{12 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}}{3,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = 4,0 \text{ кг}$.
Для проверки можно использовать второе равенство:
$m = \frac{B_2}{2C_1} = \frac{-2,0 \text{ Н}}{2 \cdot (-0,25 \frac{\text{м}}{\text{с}^2})} = \frac{-2,0 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2}}{-0,5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 4,0 \text{ кг}$.
Результаты совпадают.
Ответ: масса самоката $m = 4,0 \text{ кг}$.

2. Определение модуля равнодействующей сил (F)
Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, проекция равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна производной проекции импульса по времени:
$F_x = \frac{dp_x}{dt}$.
Используем заданный закон изменения импульса $p_x(t) = A_2 + B_2t$:
$F_x = \frac{d}{dt}(A_2 + B_2t) = B_2$.
Подставим значение коэффициента $B_2$:
$F_x = -2,0 \text{ Н}$.
Проекция силы отрицательна, что означает, что вектор силы направлен против оси Ox. Модуль силы — это абсолютное значение ее проекции (поскольку движение одномерное):
$F = |F_x| = |-2,0 \text{ Н}| = 2,0 \text{ Н}$.
Ответ: модуль равнодействующей сил $F = 2,0 \text{ Н}$.