Номер 819, страница 160 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 2,0$ кг

$p_x(t) = A + Bt$

$A = 2,0 \frac{кг \cdot м}{с}$

$B = 6,0$ Н

$\Delta r = 28$ м

Найти:

$|\Delta p_x|$

Решение:

Зависимость проекции импульса от времени задана уравнением $p_x(t) = A + Bt$.

Проекция импульса тела связана с проекцией его скорости $v_x$ и массой $m$ соотношением $p_x = m v_x$.

Отсюда можем выразить зависимость проекции скорости от времени:

$v_x(t) = \frac{p_x(t)}{m} = \frac{A + Bt}{m} = \frac{A}{m} + \frac{B}{m}t$.

Это уравнение для скорости при равноускоренном движении вида $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$, где $v_{0x}$ – начальная скорость, а $a_x$ – ускорение.

Сравнивая два выражения для $v_x(t)$, находим:

Начальная скорость: $v_{0x} = \frac{A}{m}$

Ускорение: $a_x = \frac{B}{m}$

Поскольку движение происходит вдоль оси Ox, модуль перемещения $\Delta r$ равен перемещению по оси $x$, которое для равноускоренного движения находится по формуле:

$\Delta r = \Delta x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Подставим выражения для начальной скорости и ускорения:

$\Delta r = \frac{A}{m}t + \frac{B}{2m}t^2$

Подставим числовые значения из условия задачи, чтобы найти время движения $t$:

$28 = \frac{2,0}{2,0}t + \frac{6,0}{2 \cdot 2,0}t^2$

$28 = 1 \cdot t + \frac{6,0}{4,0}t^2$

$28 = t + 1,5t^2$

Получили квадратное уравнение относительно времени $t$:

$1,5t^2 + t - 28 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1,5 \cdot (-28) = 1 + 6 \cdot 28 = 1 + 168 = 169$

Корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1,5} = \frac{-1 \pm 13}{3}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{-1 + 13}{3} = \frac{12}{3} = 4,0$ с

$t_2 = \frac{-1 - 13}{3} = -\frac{14}{3}$ с

Так как время не может быть отрицательным, выбираем корень $t = 4,0$ с.

Теперь найдем модуль изменения импульса бруска за этот промежуток времени. Изменение импульса $\Delta p_x$ равно разности конечного и начального импульсов:

$\Delta p_x = p_x(t) - p_x(0)$

Начальный импульс (при $t=0$): $p_x(0) = A + B \cdot 0 = A$.

Конечный импульс (при $t=4,0$ с): $p_x(t) = A + Bt$.

Тогда изменение импульса:

$\Delta p_x = (A + Bt) - A = Bt$

Модуль изменения импульса равен $|\Delta p_x| = |Bt|$. Поскольку $B > 0$ и $t > 0$, то $|\Delta p_x| = Bt$.

Подставим значения $B$ и найденное время $t$:

$|\Delta p_x| = 6,0 \text{ Н} \cdot 4,0 \text{ с} = 24 \frac{кг \cdot м}{с}$

Ответ: $24 \frac{кг \cdot м}{с}$.