Номер 837, страница 163 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота, с которой летел снаряд: $h$

Начальная горизонтальная скорость снаряда: $v_0$

Время падения первого осколка после разрыва: $t$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Модуль скорости второго осколка сразу после разрыва: $v_2$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из снаряда до разрыва и двух осколков после. Так как разрыв является внутренним процессом для системы, а сопротивлением воздуха можно пренебречь, для системы будет выполняться закон сохранения импульса.

Выберем систему координат. Начало координат $(0, 0)$ расположим на земле, точно под местом разрыва. Ось $OX$ направим горизонтально в сторону первоначального движения снаряда, а ось $OY$ — вертикально вверх. В этой системе координат разрыв происходит в точке с координатами $(0, h)$.

Пусть масса снаряда равна $M$. Тогда масса каждого из двух равных осколков будет $m = M/2$. До разрыва импульс снаряда был направлен горизонтально: $\vec{P} = M\vec{v_0}$. В проекциях на оси координат:
$P_x = Mv_0$
$P_y = 0$

Пусть скорости первого и второго осколков сразу после разрыва равны $\vec{v_1}=(v_{1x}, v_{1y})$ и $\vec{v_2}=(v_{2x}, v_{2y})$ соответственно. Импульс системы после разрыва: $\vec{P'} = m\vec{v_1} + m\vec{v_2}$.

Применяем закон сохранения импульса в проекциях на оси:
На ось OX: $Mv_0 = mv_{1x} + mv_{2x} \implies Mv_0 = \frac{M}{2}v_{1x} + \frac{M}{2}v_{2x} \implies 2v_0 = v_{1x} + v_{2x}$ (1)
На ось OY: $0 = mv_{1y} + mv_{2y} \implies 0 = v_{1y} + v_{2y}$ (2)

Теперь рассмотрим движение первого осколка после разрыва. Его начальные координаты $(0, h)$, а начальная скорость $\vec{v_1} = (v_{1x}, v_{1y})$. Движение тела, брошенного с начальной скоростью, в поле тяжести описывается уравнениями:
$x_1(t') = x_0 + v_{1x} \cdot t'$
$y_1(t') = y_0 + v_{1y} \cdot t' - \frac{gt'^2}{2}$

По условию, первый осколок упал на землю ($y_1=0$) точно под местом разрыва ($x_1=0$) спустя время $t$. Подставим эти значения ($x_0=0, y_0=h, t'=t$) в уравнения движения:
$0 = 0 + v_{1x} \cdot t$
Из этого уравнения, так как время $t > 0$, следует, что $v_{1x} = 0$. Это означает, что горизонтальная составляющая скорости первого осколка сразу после разрыва стала равной нулю.

Подставим $v_{1x} = 0$ в уравнение (1) для сохранения импульса по оси OX:
$2v_0 = 0 + v_{2x} \implies v_{2x} = 2v_0$

Теперь используем информацию о вертикальном движении первого осколка. Подставим $y_1=0$, $y_0=h$ и $t'=t$ в уравнение для $y_1(t')$:
$0 = h + v_{1y} \cdot t - \frac{gt^2}{2}$
Отсюда выразим начальную вертикальную скорость первого осколка $v_{1y}$:
$v_{1y} \cdot t = \frac{gt^2}{2} - h \implies v_{1y} = \frac{gt}{2} - \frac{h}{t}$

Подставим найденное значение $v_{1y}$ в уравнение (2) для сохранения импульса по оси OY:
$0 = (\frac{gt}{2} - \frac{h}{t}) + v_{2y} \implies v_{2y} = -(\frac{gt}{2} - \frac{h}{t}) = \frac{h}{t} - \frac{gt}{2}$

Таким образом, мы нашли обе компоненты скорости второго осколка сразу после разрыва:
$\vec{v_2} = (v_{2x}, v_{2y}) = (2v_0, \frac{h}{t} - \frac{gt}{2})$

Модуль скорости второго осколка $v_2$ найдем по теореме Пифагора как длину вектора скорости:
$v_2 = |\vec{v_2}| = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{(2v_0)^2 + (\frac{h}{t} - \frac{gt}{2})^2}$

Ответ: $v_2 = \sqrt{4v_0^2 + \left(\frac{h}{t} - \frac{gt}{2}\right)^2}$