Номер 12, страница 64 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

12. По формуле $a = \frac{v^2}{R}$ центростремительное ускорение обратно пропорционально радиусу $R$, а по формуле $a = \omega^2 R$ — прямо пропорционально ему. Нет ли в этом противоречия? Объясните на примерах.

Решение

Противоречия между формулами $a = \frac{v^2}{R}$ и $a = \omega^2 R$ нет. Эти формулы описывают зависимость центростремительного ускорения от радиуса при разных физических условиях. Ключевым моментом является то, какая из величин — линейная скорость $v$ или угловая скорость $\omega$ — остается постоянной при изменении радиуса $R$. Эти две скорости связаны соотношением $v = \omega R$.

1. Зависимость $a = \frac{v^2}{R}$ (обратная пропорциональность)

Эта формула показывает, что центростремительное ускорение обратно пропорционально радиусу, если линейная скорость $v$ постоянна. Если тело движется с постоянной по модулю скоростью, но по траекториям разного радиуса, то угловая скорость $\omega = v/R$ будет меняться.

Пример: Поворот автомобиля на дороге. Пусть автомобиль движется с постоянной скоростью $v = 20 \text{ м/с}$.

• Если он совершает крутой поворот (например, $R_1 = 40 \text{ м}$), то его центростремительное ускорение будет $a_1 = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{40 \text{ м}} = 10 \text{ м/с}^2$.
• Если он совершает плавный, широкий поворот (например, $R_2 = 100 \text{ м}$), то его центростремительное ускорение будет $a_2 = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{100 \text{ м}} = 4 \text{ м/с}^2$.

Как видно, при постоянной линейной скорости, чем больше радиус, тем меньше центростремительное ускорение.

2. Зависимость $a = \omega^2 R$ (прямая пропорциональность)

Эта формула показывает, что центростремительное ускорение прямо пропорционально радиусу, если угловая скорость $\omega$ постоянна. Это характерно для точек вращающегося твердого тела. Все точки такого тела имеют одинаковую угловую скорость, но их линейные скорости $v = \omega R$ зависят от расстояния до оси вращения.

Пример: Вращающаяся карусель. Пусть карусель вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = 2 \text{ рад/с}$.

• Рассмотрим точку, находящуюся на расстоянии $R_1 = 1 \text{ м}$ от центра. Ее центростремительное ускорение будет $a_1 = (2 \text{ рад/с})^2 \cdot 1 \text{ м} = 4 \text{ м/с}^2$.
• Рассмотрим точку на краю карусели, на расстоянии $R_2 = 3 \text{ м}$ от центра. Ее центростремительное ускорение будет $a_2 = (2 \text{ рад/с})^2 \cdot 3 \text{ м} = 12 \text{ м/с}^2$.

Как видно, при постоянной угловой скорости, чем больше радиус, тем больше центростремительное ускорение.

Ответ: Противоречия нет. Зависимость центростремительного ускорения от радиуса определяется тем, какая величина остается постоянной. Если постоянна линейная скорость $v$, то ускорение обратно пропорционально радиусу ($a = v^2/R$). Если постоянна угловая скорость $\omega$, то ускорение прямо пропорционально радиусу ($a = \omega^2 R$). Эти два случая описывают разные физические ситуации.