Номер 6, страница 63 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

6. По арене цирка по окружности диаметром $d = 13$ м движется велосипедист. Модуль его линейной скорости $v = \text{const}$. За время $t = 22$ с радиус-вектор, задающий его положение, повернулся на угол $\Delta\varphi = 5\pi$ рад. Определите угловую и линейную скорости велосипедиста, а также путь и перемещение, совершенные им за это время.

Дано:

$d = 13$ м

$t = 22$ с

$\Delta\phi = 5\pi$ рад

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

$\omega$ — угловую скорость

$v$ — линейную скорость

$s$ — путь

$|\vec{\Delta r}|$ — перемещение

Решение:

1. Угловая скорость

Угловая скорость $\omega$ при равномерном движении по окружности (условие $v = \text{const}$ означает и $\omega = \text{const}$) определяется как отношение угла поворота $\Delta\phi$ к промежутку времени $t$, за который этот поворот произошел.

$\omega = \frac{\Delta\phi}{t}$

Подставим значения из условия задачи:

$\omega = \frac{5\pi \text{ рад}}{22 \text{ с}} = \frac{5\pi}{22}$ рад/с.

Ответ: Угловая скорость велосипедиста равна $\frac{5\pi}{22}$ рад/с.

2. Линейная скорость

Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом окружности $R$ следующей формулой:

$v = \omega \cdot R$

Сначала найдем радиус арены. Радиус равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{13 \text{ м}}{2} = 6.5 \text{ м}$

Теперь можем рассчитать линейную скорость, используя найденную угловую скорость:

$v = \frac{5\pi}{22} \frac{\text{рад}}{\text{с}} \cdot 6.5 \text{ м} = \frac{5 \cdot 6.5 \pi}{22} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{32.5 \pi}{22} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{65 \pi}{44}$ м/с.

Ответ: Линейная скорость велосипедиста равна $\frac{65 \pi}{44}$ м/с.

3. Путь

Путь $s$, пройденный велосипедистом, — это длина дуги, которую он проехал. Путь можно найти по формуле $s = R \cdot \Delta\phi$, связывающей его с радиусом и углом поворота.

$s = R \cdot \Delta\phi = 6.5 \text{ м} \cdot 5\pi \text{ рад} = 32.5\pi$ м.

Для проверки можно использовать формулу $s = v \cdot t$:

$s = v \cdot t = \frac{65\pi}{44} \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 22 \text{ с} = \frac{65\pi \cdot 22}{44} \text{ м} = \frac{65\pi}{2} \text{ м} = 32.5\pi$ м.

Результаты совпадают.

Ответ: Путь, пройденный велосипедистом, составляет $32.5\pi$ м.

4. Перемещение

Перемещение $|\vec{\Delta r}|$ — это модуль вектора, который соединяет начальное и конечное положение тела. Угол поворота велосипедиста составил $\Delta\phi = 5\pi$ рад.

Один полный оборот по окружности соответствует углу поворота в $2\pi$ рад. Представим общий угол поворота велосипедиста в виде суммы полных оборотов и оставшегося угла:

$\Delta\phi = 5\pi = 4\pi + \pi = 2 \cdot (2\pi) + \pi$

Это выражение показывает, что велосипедист совершил два полных оборота, после которых он вернулся в исходную точку, и затем проехал еще половину окружности (совершил поворот на угол $\pi$ рад, или $180^\circ$).

Таким образом, его конечное положение находится в точке, диаметрально противоположной стартовой. Модуль вектора перемещения в этом случае равен расстоянию между начальной и конечной точками, то есть диаметру арены.

$|\vec{\Delta r}| = d = 13$ м.

Ответ: Перемещение велосипедиста за данное время равно $13$ м.