Номер 7, страница 63 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

7. Во сколько раз модули линейной скорости и ускорения конца минутной стрелки часов на башне Привокзальной площади Минска (рис. 95) больше модулей скорости и ускорения конца часовой стрелки? Длина минутной стрелки $R_1 = 1,70 \text{ м}$, длина часовой стрелки $R_2 = 1,30 \text{ м}$.

Рис. 95

Дано:

Длина минутной стрелки $R_1 = 1,70 \text{ м}$
Длина часовой стрелки $R_2 = 1,30 \text{ м}$
Период обращения минутной стрелки $T_1 = 1 \text{ час}$
Период обращения часовой стрелки $T_2 = 12 \text{ часов}$

Перевод периодов в систему СИ:
$T_1 = 1 \text{ ч} = 1 \cdot 3600 \text{ с} = 3600 \text{ с}$
$T_2 = 12 \text{ ч} = 12 \cdot 3600 \text{ с} = 43200 \text{ с}$

Найти:

$\frac{v_1}{v_2}$ — отношение модулей линейных скоростей концов стрелок.
$\frac{a_1}{a_2}$ — отношение модулей ускорений концов стрелок.

Решение:

Движение концов стрелок часов представляет собой равномерное движение по окружности. Радиусами этих окружностей являются длины соответствующих стрелок. Ускорение при таком движении — центростремительное.

Отношение модулей линейных скоростей

Модуль линейной скорости точки, которая равномерно движется по окружности, вычисляется по формуле $v = \frac{2\pi R}{T}$, где $R$ — радиус окружности, а $T$ — период обращения.

Скорость конца минутной стрелки: $v_1 = \frac{2\pi R_1}{T_1}$.
Скорость конца часовой стрелки: $v_2 = \frac{2\pi R_2}{T_2}$.

Чтобы найти, во сколько раз модуль скорости конца минутной стрелки больше, найдем их отношение: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{2\pi R_1}{T_1}}{\frac{2\pi R_2}{T_2}} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$.

Подставим числовые значения. Для нахождения отношения периодов удобно использовать их значения в часах, так как отношение не изменится: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1,70 \text{ м}}{1,30 \text{ м}} \cdot \frac{12 \text{ ч}}{1 \text{ ч}} = \frac{1,70}{1,30} \cdot 12 \approx 1,3077 \cdot 12 \approx 15,69$.

В исходных данных длины стрелок приведены с тремя значащими цифрами, поэтому результат следует округлить до трех значащих цифр.

Ответ: Модуль линейной скорости конца минутной стрелки больше модуля скорости конца часовой стрелки в 15,7 раз.

Отношение модулей ускорений

Модуль центростремительного ускорения точки, равномерно движущейся по окружности, определяется формулой $a = \omega^2 R$. Выражая угловую скорость $\omega$ через период $T$ ($\omega = \frac{2\pi}{T}$), получаем: $a = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.

Ускорение конца минутной стрелки: $a_1 = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}$.
Ускорение конца часовой стрелки: $a_2 = \frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}$.

Чтобы найти, во сколько раз модуль ускорения конца минутной стрелки больше, найдем их отношение: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}}{\frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$.

Подставим числовые значения: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1,70}{1,30} \cdot \left(\frac{12}{1}\right)^2 = \frac{1,70}{1,30} \cdot 144 \approx 1,3077 \cdot 144 \approx 188,31$.

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: Модуль ускорения конца минутной стрелки больше модуля ускорения конца часовой стрелки в 188 раз.