Номер 6, страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

6. Определите период обращения Международной космической станции (МКС), считая, что она движется по круговой орбите на высоте $h = 430$ км от поверхности Земли.

Дано:

Высота орбиты МКС: $h = 430 \text{ км} = 430 \times 10^3 \text{ м}$
Справочные данные:
Радиус Земли (средний): $R_З \approx 6371 \text{ км} = 6.371 \times 10^6 \text{ м}$
Масса Земли: $M_З \approx 5.972 \times 10^{24} \text{ кг}$
Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Найти:

Период обращения МКС, $T$.

Решение:

Движение Международной космической станции (МКС) по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает станцию на орбите.

Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу гравитации $F_g$ и центростремительную силу $F_c$:

$F_g = F_c$

Сила гравитации определяется по закону всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса МКС, а $r$ — радиус орбиты.

Центростремительная сила выражается через массу $m$, орбитальную скорость $v$ и радиус орбиты $r$:

$F_c = m a_c = m \frac{v^2}{r}$

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Масса станции $m$ сокращается, что означает, что период обращения не зависит от массы спутника. Выразим квадрат скорости:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

Орбитальная скорость также связана с периодом обращения $T$ (временем одного полного оборота) и радиусом орбиты $r$ формулой:

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

Подставим это выражение для скорости в предыдущее уравнение:

$(\frac{2 \pi r}{T})^2 = \frac{G M_З}{r}$

$\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M_З}{r}$

Теперь выразим из этого уравнения период $T$. Это и есть третий закон Кеплера для круговых орбит:

$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M_З} \implies T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_З}}$

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$:

$r = R_З + h = 6.371 \times 10^6 \text{ м} + 430 \times 10^3 \text{ м} = 6801 \times 10^3 \text{ м} = 6.801 \times 10^6 \text{ м}$

Подставим численные значения в формулу для периода:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(6.801 \times 10^6 \text{ м})^3}{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times 5.972 \times 10^{24} \text{ кг}}}$

$T \approx 2 \times 3.1416 \times \sqrt{\frac{3.1458 \times 10^{20} \text{ м}^3}{3.986 \times 10^{14} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}}} \approx 6.2832 \times \sqrt{7.8921 \times 10^5 \text{ с}^2}$

$T \approx 6.2832 \times 888.38 \text{ с} \approx 5582 \text{ с}$

Для удобства можно перевести секунды в минуты:

$T \approx \frac{5582 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} \approx 93.03 \text{ мин}$

Ответ: $T \approx 5582 \text{ с}$ (или $\approx 93 \text{ минуты}$).