Номер 3, страница 109 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

3. Какой физический смысл имеет гравитационная постоянная G? Как найти ее на опыте?

Какой физический смысл имеет гравитационная постоянная G?

Гравитационная постоянная $G$ является фундаментальной физической константой, которая определяет интенсивность гравитационного взаимодействия и входит в закон всемирного тяготения Исаака Ньютона: $$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$ где $F$ — сила гравитационного притяжения между двумя телами, $m_1$ и $m_2$ — их массы, а $r$ — расстояние между их центрами масс.

Физический смысл гравитационной постоянной становится ясен, если в формуле принять массы тел равными единице ($m_1 = m_2 = 1$ кг), а расстояние между ними — также равным единице ($r = 1$ м). В этом гипотетическом случае формула упрощается до $F = G$.

Таким образом, гравитационная постоянная $G$ численно равна силе гравитационного притяжения, действующей между двумя точечными телами массой 1 кг каждое, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга.

Ее значение в Международной системе единиц (СИ) составляет приблизительно: $$G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$$ Малое значение этой константы объясняет, почему гравитационное взаимодействие становится заметным только для тел с очень большими массами (например, планет или звезд) и практически не ощущается между обычными предметами в повседневной жизни.

Ответ: Гравитационная постоянная $G$ численно равна силе гравитационного притяжения между двумя материальными точками массой 1 кг каждая, которые находятся на расстоянии 1 м друг от друга.

Как найти ее на опыте?

Гравитационная постоянная была впервые экспериментально определена английским ученым Генри Кавендишем в 1798 году с помощью очень чувствительного устройства, называемого крутильными весами. Этот эксперимент является классическим методом измерения $G$.

Суть эксперимента заключается в следующем:

1. Установка: Используются крутильные весы — легкое горизонтальное коромысло с двумя маленькими шариками (массой $m$) на концах, подвешенное на тонкой упругой нити.
2. Взаимодействие: К этим маленьким шарикам на известное расстояние $r$ подносят два больших массивных шара (массой $M$). Силы гравитационного притяжения $F$ между парами шаров (большим и маленьким) создают вращающий момент, который закручивает коромысло вместе с нитью.
3. Измерение: Коромысло поворачивается на небольшой угол $\alpha$, пока момент силы упругости закрученной нити не уравновесит момент гравитационных сил. Угол поворота измеряется с высокой точностью, например, с помощью светового луча, отраженного от зеркальца, прикрепленного к нити.

Момент гравитационных сил, вращающий коромысло, равен $\tau_{грав} = 2 \cdot F \cdot L$, где $L$ — плечо силы (половина длины коромысла), а сила притяжения $F = G \frac{Mm}{r^2}$. Таким образом, $\tau_{грав} = 2 \cdot G \frac{Mm}{r^2} \cdot L$.

Этот момент уравновешивается моментом упругости нити, который, согласно закону Гука для кручения, пропорционален углу закручивания $\alpha$: $\tau_{упр} = \kappa \alpha$, где $\kappa$ — коэффициент крутильной жесткости нити.

В состоянии равновесия $\tau_{грав} = \tau_{упр}$, откуда следует: $$2 \cdot G \frac{Mm}{r^2} \cdot L = \kappa \alpha$$

Из этого соотношения можно выразить $G$: $$G = \frac{\kappa \alpha r^2}{2MmL}$$

Основная сложность заключается в определении коэффициента жесткости нити $\kappa$. Его находят динамическим методом: измеряют период $T$ свободных крутильных колебаний коромысла. Период связан с моментом инерции коромысла $I$ и коэффициентом $\kappa$ формулой: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}}$$ Отсюда можно выразить $\kappa = \frac{4\pi^2 I}{T^2}$. Момент инерции коромысла с двумя шариками легко рассчитать как $I \approx 2mL^2$ (пренебрегая массой стержня).

Подставив все известные и измеренные величины ($M, m, r, L, \alpha, T$) в формулы, можно вычислить значение гравитационной постоянной $G$.

Ответ: На опыте гравитационную постоянную можно найти с помощью крутильных весов (опыт Кавендиша), измеряя силу притяжения между шарами с известными массами. По углу закручивания упругой нити, на которой подвешено коромысло с малыми массами, и периоду ее свободных колебаний вычисляют искомое значение $G$.