Номер 7, страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

7. Вокруг одной из планет Солнечной системы по круговой орбите радиусом $R = 9400 \text{ км}$ обращается спутник. Период его обращения $T = 7 \text{ ч } 40 \text{ мин}$. Определите массу планеты. О какой планете идет речь?

Дано:

$R = 9400 \text{ км}$

$T = 7 \text{ ч } 40 \text{ мин}$

$G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Перевод в систему СИ:

$R = 9400 \text{ км} = 9400 \times 10^3 \text{ м} = 9.4 \times 10^6 \text{ м}$

$T = 7 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 7 \times 3600 \text{ с} + 40 \times 60 \text{ с} = 25200 \text{ с} + 2400 \text{ с} = 27600 \text{ с}$

Найти:

$M$ — массу планеты; определить планету.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны планеты. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите. По второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и центростремительную силу:

$F_{\text{тяг}} = F_{\text{ц}}$

$G \frac{M m}{R^2} = m a_c$

где $M$ — масса планеты, $m$ — масса спутника, $R$ — радиус орбиты, $a_c$ — центростремительное ускорение.

Масса спутника $m$ сокращается:

$G \frac{M}{R^2} = a_c$

Центростремительное ускорение для движения по окружности можно выразить через линейную скорость $v$ или через период обращения $T$. Связь линейной скорости и периода: $v = \frac{2 \pi R}{T}$. Центростремительное ускорение: $a_c = \frac{v^2}{R}$.

Подставим выражение для скорости в формулу ускорения:

$a_c = \frac{(2 \pi R / T)^2}{R} = \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$

Теперь подставим это выражение для $a_c$ в уравнение сил:

$G \frac{M}{R^2} = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$

Это соотношение является третьим законом Кеплера для круговой орбиты. Из этого уравнения выразим массу планеты $M$:

$M = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$M = \frac{4 \cdot (3.14159)^2 \cdot (9.4 \times 10^6 \text{ м})^3}{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot (27600 \text{ с})^2}$

$M \approx \frac{4 \cdot 9.87 \cdot (8.306 \times 10^{20} \text{ м}^3)}{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot (7.6176 \times 10^8 \text{ с}^2)}$

$M \approx \frac{3.279 \times 10^{22}}{5.081 \times 10^{-2}} \text{ кг} \approx 0.645 \times 10^{24} \text{ кг}$

$M \approx 6.45 \times 10^{23} \text{ кг}$

Сравним полученную массу с массами планет Солнечной системы:

• Масса Земли: $\approx 5.97 \times 10^{24}$ кг
• Масса Марса: $\approx 6.42 \times 10^{23}$ кг
• Масса Венеры: $\approx 4.87 \times 10^{24}$ кг

Вычисленное значение массы наиболее близко к массе Марса. Кроме того, спутник Марса Фобос имеет радиус орбиты около $9376$ км и период обращения $7$ ч $39$ мин, что очень близко к данным в задаче.

Ответ:

Масса планеты составляет примерно $M \approx 6.45 \times 10^{23}$ кг. Речь идет о планете Марс.