Номер 8, страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

8. Земля движется вокруг Солнца по орбите, близкой к круговой, радиусом $r = 1,5 \cdot 10^{11}$ м. Определите массу Солнца.

Дано:
Радиус орбиты Земли $r = 1,5 \cdot 10^{11}$ м
Период обращения Земли вокруг Солнца $T = 1$ год
Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Переведем период обращения в систему СИ (секунды):
$T = 1 \text{ год} \approx 365,25 \text{ суток} = 365,25 \cdot 24 \text{ часов} = 365,25 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 3,156 \cdot 10^7 \text{ с}$

Найти:
Массу Солнца $M_С$

Решение:

Земля движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны Солнца. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает Землю на орбите. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и центростремительную силу.

Сила всемирного тяготения $F_г$ определяется по формуле: $F_г = G \frac{M_С m_З}{r^2}$
где $M_С$ – масса Солнца, $m_З$ – масса Земли, $r$ – радиус орбиты, $G$ – гравитационная постоянная.

Центростремительная сила $F_ц$, действующая на Землю, равна: $F_ц = m_З a_ц = m_З \frac{v^2}{r}$
где $v$ – орбитальная скорость Земли, а $a_ц$ - центростремительное ускорение.

Приравниваем эти две силы: $G \frac{M_С m_З}{r^2} = m_З \frac{v^2}{r}$

Масса Земли $m_З$ сокращается: $G \frac{M_С}{r} = v^2$

Орбитальную скорость $v$ можно выразить через радиус орбиты $r$ и период обращения $T$: $v = \frac{2\pi r}{T}$

Подставим выражение для скорости в наше уравнение: $G \frac{M_С}{r^2} = \frac{( \frac{2\pi r}{T} )^2}{r} = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2 r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Теперь выразим массу Солнца $M_С$: $M_С = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $M_С = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (1,5 \cdot 10^{11} \text{ м})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²} \cdot (3,156 \cdot 10^7 \text{ с})^2}$

$M_С \approx \frac{4 \cdot 9,86 \cdot 3,375 \cdot 10^{33}}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 9,96 \cdot 10^{14}} \approx \frac{133,11 \cdot 10^{33}}{66,43 \cdot 10^3} \approx 2,00 \cdot 10^{30} \text{ кг}$

Ответ: масса Солнца приблизительно равна $2,0 \cdot 10^{30}$ кг.