Номер 2, страница 105 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

2. Докажите, что при значениях углов бросания $\alpha$ и $(90^{\circ} - \alpha)$ дальности полета тела будут одинаковы.

Дано:

Тело брошено с одинаковой начальной скоростью $v_0$ под двумя разными углами к горизонту.
Угол бросания в первом случае: $\alpha_1 = \alpha$
Угол бросания во втором случае: $\alpha_2 = 90^\circ - \alpha$

Найти:

Доказать, что дальности полета $L_1$ и $L_2$ в этих двух случаях равны, то есть $L_1 = L_2$.

Решение:

Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления воздуха, определяется по формуле:
$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$
где $v_0$ — начальная скорость, $\alpha$ — угол бросания, $g$ — ускорение свободного падения.

1. Найдем дальность полета $L_1$ для угла бросания $\alpha_1 = \alpha$.
$L_1 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

2. Найдем дальность полета $L_2$ для угла бросания $\alpha_2 = 90^\circ - \alpha$.
$L_2 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha_2)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2(90^\circ - \alpha))}{g}$

3. Упростим выражение в аргументе синуса для $L_2$, раскрыв скобки:
$2(90^\circ - \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$
Таким образом, формула для $L_2$ принимает вид:
$L_2 = \frac{v_0^2 \sin(180^\circ - 2\alpha)}{g}$

4. Воспользуемся тригонометрической формулой приведения: $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$. В нашем случае $x = 2\alpha$, следовательно:
$\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$

5. Подставим это тождество обратно в формулу для $L_2$:
$L_2 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

6. Сравнивая полученные выражения для $L_1$ и $L_2$, мы видим, что они идентичны:
$L_1 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$
$L_2 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$
Следовательно, $L_1 = L_2$, что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано. Дальности полета для углов $\alpha$ и $(90^\circ - \alpha)$ равны, так как при одинаковой начальной скорости дальность полета зависит от $\sin(2\alpha)$, а из тригонометрии известно, что $\sin(2\alpha) = \sin(2(90^\circ - \alpha))$.