Номер 5, страница 102 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

5. Что такое горизонтальная дальность полета? Как ее найти?

Что такое горизонтальная дальность полета?

Горизонтальная дальность полета — это расстояние по горизонтали, которое пролетает тело, брошенное под углом к горизонту, от точки старта до точки падения. Важным условием является то, что точка старта и точка падения находятся на одной и той же высоте. В задачах по кинематике обычно пренебрегают сопротивлением воздуха, и единственной силой, действующей на тело в полете, считается сила тяжести. Дальность полета обычно обозначается буквой $L$.

Как ее найти?

Для нахождения горизонтальной дальности полета $L$ необходимо рассмотреть движение тела как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось OX) и равноускоренного по вертикали (ось OY).

Пусть тело брошено с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Ускорение свободного падения равно $g$.

Шаг 1: Описание движения по осям.

Движение по оси OX (горизонтальной) является равномерным, так как проекция силы тяжести на эту ось равна нулю (сопротивление воздуха не учитывается). Скорость вдоль этой оси постоянна и равна проекции начальной скорости:

$v_x = v_0 \cos\alpha$

Координата тела в любой момент времени $t$:

$x(t) = v_x t = (v_0 \cos\alpha)t$

Движение по оси OY (вертикальной) является равноускоренным. На тело действует сила тяжести, сообщающая ему ускорение $g$, направленное вниз. Проекция начальной скорости на эту ось:

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Координата тела в любой момент времени $t$ (если считать, что точка броска имеет координату $y_0 = 0$):

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

Шаг 2: Нахождение полного времени полета.

Полное время полета $t_{полн}$ — это время, за которое тело вернется на начальную высоту. В этот момент его вертикальная координата $y$ снова станет равной нулю.

$(v_0 \sin\alpha)t_{полн} - \frac{gt_{полн}^2}{2} = 0$

Вынесем $t_{полн}$ за скобки:

$t_{полн}\left(v_0 \sin\alpha - \frac{gt_{полн}}{2}\right) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$ (соответствует моменту начала полета) и $t_2 = t_{полн} = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$ (соответствует моменту падения).

Шаг 3: Вычисление дальности полета.

Дальность полета $L$ — это горизонтальная координата $x$ в момент времени $t_{полн}$. Подставим найденное время полета в уравнение для $x(t)$:

$L = x(t_{полн}) = (v_0 \cos\alpha) \cdot t_{полн} = (v_0 \cos\alpha) \cdot \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$

Сгруппируем множители:

$L = \frac{v_0^2 (2\sin\alpha\cos\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, получаем окончательную формулу для горизонтальной дальности полета:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Из этой формулы следует, что при фиксированной начальной скорости $v_0$ максимальная дальность полета достигается при угле броска $\alpha = 45^\circ$, так как в этом случае множитель $\sin(2\alpha) = \sin(90^\circ) = 1$ принимает максимальное значение.

Ответ: Горизонтальная дальность полета — это расстояние по горизонтали от точки броска до точки падения тела (при условии, что они находятся на одной высоте). Она вычисляется по формуле $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$, где $v_0$ — модуль начальной скорости, $\alpha$ — угол броска к горизонту, $g$ — ускорение свободного падения.