Номер 2, страница 103 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

2. Мяч брошен вертикально вверх с высоты $h = 18,2 \text{ м}$ со скоростью, модуль которой $v_0 = 6,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Через какое время он окажется на уровне точки бросания? Сколько времени после этого он еще будет падать? С какой скоростью приземлится?

Дано:

Начальная высота: $h = 18,2$ м

Начальная скорость: $v_0 = 6,0$ м/с

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

1. Время до возвращения на уровень броска - $t_1$

2. Время падения после возвращения на уровень броска - $t_{fall}$

3. Скорость приземления - $v_{final}$

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Начало координат ($y=0$) расположим на уровне точки броска, а ось $OY$ направим вертикально вверх.

Через какое время он окажется на уровне точки бросания?

Движение мяча вверх до максимальной высоты и обратно до точки броска симметрично. Время подъема на максимальную высоту равно времени падения с нее до точки броска. Время полета до возвращения в точку броска $t_1$ можно найти из уравнения движения $y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$.

Мяч окажется на уровне точки бросания, когда его координата $y(t)$ будет равна нулю.

$v_0 t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = 0$

Вынесем $t_1$ за скобки:

$t_1 \left(v_0 - \frac{gt_1}{2}\right) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$ (начальный момент времени) и $v_0 - \frac{gt_1}{2} = 0$. Нас интересует второй корень, соответствующий моменту возвращения.

$t_1 = \frac{2v_0}{g}$

Подставим числовые значения:

$t_1 = \frac{2 \cdot 6,0 \text{ м/с}}{9,8 \text{ м/с}^2} \approx 1,224 \text{ с}$

С учетом значащих цифр (в $v_0$ их две), округляем результат.

Ответ: мяч окажется на уровне точки бросания через 1,2 с.

Сколько времени после этого он еще будет падать?

В момент возвращения на уровень броска скорость мяча будет равна по модулю начальной скорости $v_0$, но направлена вниз. Теперь рассмотрим движение мяча с высоты $h$ до земли. Начальная скорость для этого участка движения равна $v_0 = 6,0$ м/с (направлена вниз). Перемещение равно $h = 18,2$ м.

Используем уравнение для равноускоренного движения. Направим ось OY вниз:

$h = v_0 t_{fall} + \frac{gt_{fall}^2}{2}$

Подставим значения и получим квадратное уравнение относительно времени падения $t_{fall}$:

$18,2 = 6,0 \cdot t_{fall} + \frac{9,8}{2} t_{fall}^2$

$4,9 t_{fall}^2 + 6,0 t_{fall} - 18,2 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (6,0)^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot (-18,2) = 36 + 356,72 = 392,72$

Найдем корни уравнения $t_{fall} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_{fall} = \frac{-6,0 \pm \sqrt{392,72}}{2 \cdot 4,9} = \frac{-6,0 \pm 19,817}{9,8}$

Физический смысл имеет только положительный корень, так как время не может быть отрицательным:

$t_{fall} = \frac{-6,0 + 19,817}{9,8} \approx \frac{13,817}{9,8} \approx 1,41 \text{ с}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $t_{fall} \approx 1,4$ с.

Ответ: после этого он будет падать еще 1,4 с.

С какой скоростью приземлится?

Скорость приземления можно найти, используя кинематическую формулу, не содержащую время. Рассмотрим все движение от точки броска до земли. Начальная скорость $v_0 = 6,0$ м/с, перемещение $s = -h = -18,2$ м (знак минус, так как перемещение направлено вниз, а ось OY была направлена вверх). Ускорение $a = -g$.

$v_{final}^2 = v_0^2 + 2as$

$v_{final}^2 = v_0^2 + 2(-g)(-h) = v_0^2 + 2gh$

Подставим числовые значения:

$v_{final}^2 = (6,0 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 18,2 \text{ м} = 36 \text{ м}^2/\text{с}^2 + 356,72 \text{ м}^2/\text{с}^2 = 392,72 \text{ м}^2/\text{с}^2$

Найдем модуль скорости:

$v_{final} = \sqrt{392,72 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 19,817 \text{ м/с}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $v_{final} \approx 20$ м/с.

Ответ: мяч приземлится со скоростью 20 м/с.