Номер 2, страница 115 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

2. Шарик, висящий на пружине в кабине неподвижного лифта, растягивает пружину на $x_1 = 3,0$ см. В движущейся вверх с постоянным ускорением кабине лифта растяжение пружины стало равным $x_2 = 6,0$ см. Определите модуль ускорения кабины лифта.

Дано

Растяжение пружины в неподвижном лифте, $x_1 = 3,0 \text{ см} = 0,030 \text{ м}$
Растяжение пружины в движущемся лифте, $x_2 = 6,0 \text{ см} = 0,060 \text{ м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$a$ - ?

Решение

Рассмотрим два случая.

1. Лифт неподвижен.

На шарик действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз, и сила упругости пружины $F_{упр1} = kx_1$, направленная вверх. Здесь $m$ – масса шарика, $k$ – жёсткость пружины.
Так как лифт неподвижен, ускорение шарика равно нулю, и по первому закону Ньютона силы уравновешивают друг друга. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх, получим:

$F_{упр1} - F_т = 0$

$kx_1 = mg$ (1)

2. Лифт движется с ускорением вверх.

Шарик движется вместе с лифтом с ускорением $a$, направленным вверх. На него по-прежнему действуют сила тяжести $F_т = mg$ и сила упругости $F_{упр2} = kx_2$.

По второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение:

$m\vec{a} = \vec{F}_т + \vec{F}_{упр2}$

В проекции на ту же вертикальную ось:

$ma = F_{упр2} - F_т$

$ma = kx_2 - mg$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} kx_1 = mg \\ ma = kx_2 - mg \end{cases}$

Подставим выражение для $mg$ из первого уравнения во второе:

$ma = kx_2 - kx_1$

$ma = k(x_2 - x_1)$ (3)

Чтобы найти ускорение $a$, разделим уравнение (3) на уравнение (1):

$\frac{ma}{mg} = \frac{k(x_2 - x_1)}{kx_1}$

Масса $m$ и жёсткость $k$ сокращаются:

$\frac{a}{g} = \frac{x_2 - x_1}{x_1} = \frac{x_2}{x_1} - 1$

Отсюда выразим модуль ускорения $a$:

$a = g \left( \frac{x_2}{x_1} - 1 \right)$

Подставим числовые значения:

$a = 9,8 \cdot \left( \frac{0,060}{0,030} - 1 \right) = 9,8 \cdot (2 - 1) = 9,8 \text{ м/с}^2$

Ответ: модуль ускорения кабины лифта равен $9,8 \text{ м/с}^2$.