Номер 6, страница 116 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

6. Груз подвешен к пружинному динамометру. Показания динамометра $F = 34 \, \text{Н}$. Определите массу груза, если взвешивание проведено в вагоне поезда, который движется по закругленному участку пути радиусом $R = 75 \, \text{м}$. Участок пути горизонтален. Модуль скорости поезда постоянен и равен $v = 72 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

Дано:

$F = 34$ Н

$R = 75$ м

$v = 72 \frac{км}{ч}$

$v = 72 \frac{км}{ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \frac{м}{с}$

Найти:

$m$

Решение:

Когда вагон поезда движется по закругленному участку пути, на подвешенный груз действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_т} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины динамометра $\vec{F}$, модуль которой показывает динамометр. Поскольку поезд движется с центростремительным ускорением $\vec{a_ц}$, направленным горизонтально к центру кривизны, груз отклоняется от вертикального положения.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма сил, действующих на груз, равна произведению массы груза на его ускорение:

$m\vec{g} + \vec{F} = m\vec{a_ц}$

Это векторное уравнение. Его можно представить в виде прямоугольного треугольника сил, где вертикальный катет — это сила тяжести $m\vec{g}$, а горизонтальный катет — равнодействующая сила $m\vec{a_ц}$. Сила натяжения $\vec{F}$, которую показывает динамометр, будет гипотенузой этого треугольника. Точнее, сила $\vec{F}$ уравновешивает векторную сумму силы тяжести и силы инерции (в неинерциальной системе отсчета), либо же, в инерциальной системе, компоненты силы $\vec{F}$ обеспечивают вертикальное равновесие и горизонтальное ускорение.

Разложим силу $\vec{F}$ на вертикальную ($F_y$) и горизонтальную ($F_x$) составляющие. В проекциях на оси координат (OY — вертикально вверх, OX — горизонтально к центру поворота) второй закон Ньютона запишется так:

На ось OY: $F_y - mg = 0 \implies F_y = mg$

На ось OX: $F_x = ma_ц$

Модуль силы $F$ связан с ее компонентами по теореме Пифагора:

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$

Подставим выражения для компонент:

$F = \sqrt{(ma_ц)^2 + (mg)^2} = \sqrt{m^2(a_ц^2 + g^2)} = m\sqrt{a_ц^2 + g^2}$

Центростремительное ускорение вычисляется по формуле $a_ц = \frac{v^2}{R}$. Подставим это в наше уравнение:

$F = m\sqrt{(\frac{v^2}{R})^2 + g^2}$

Из этого уравнения выразим массу $m$:

$m = \frac{F}{\sqrt{(\frac{v^2}{R})^2 + g^2}}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$.

Вычислим значение центростремительного ускорения:

$a_ц = \frac{(20 \frac{м}{с})^2}{75 \text{ м}} = \frac{400}{75} \frac{м}{с^2} = \frac{16}{3} \frac{м}{с^2}$

Теперь подставим все числовые значения в формулу для массы:

$m = \frac{34 \text{ Н}}{\sqrt{(\frac{16}{3} \frac{м}{с^2})^2 + (10 \frac{м}{с^2})^2}} = \frac{34}{\sqrt{\frac{256}{9} + 100}} = \frac{34}{\sqrt{\frac{256 + 900}{9}}} = \frac{34}{\sqrt{\frac{1156}{9}}}$

Вычислим корень из знаменателя:

$\sqrt{\frac{1156}{9}} = \frac{\sqrt{1156}}{\sqrt{9}} = \frac{34}{3}$

Подставим это значение обратно в формулу для массы:

$m = \frac{34}{\frac{34}{3}} = 34 \cdot \frac{3}{34} = 3 \text{ кг}$

Ответ:

3 кг.