Номер 5, страница 127 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

5. Однородная линейка длиной $l = 100$ см висит на нити. К линейке подвешены два груза массами $m_1 = 0,40$ кг, $m_2 = 0,20$ кг и прикреплен динамометр (рис. 191). Определите показания динамометра, если линейка находится в равновесии. Как изменятся показания динамометра, если грузы поменять местами?

Рис. 191

Определите показания динамометра, если линейка находится в равновесии.

Дано:

Найти:

$F_д$ - показания динамометра

Решение:

Линейка представляет собой рычаг, находящийся в равновесии. Точка подвеса на нити является осью вращения. Так как линейка однородная, ее центр масс расположен на отметке 50 см, то есть совпадает с осью вращения. Поэтому сила тяжести, действующая на саму линейку, не создает вращающего момента и ее можно не учитывать при расчете.

Согласно правилу моментов, для равновесия рычага сумма моментов сил, вращающих его по часовой стрелке, должна быть равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки. Момент силы вычисляется по формуле $M = F \cdot d$, где $F$ – сила, а $d$ – ее плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Сила тяжести груза $m_1$, равная $P_1 = m_1 g$, создает момент, вращающий линейку против часовой стрелки. Сила тяжести груза $m_2$, равная $P_2 = m_2 g$, и сила $F_д$, с которой динамометр тянет линейку вниз, создают моменты, вращающие линейку по часовой стрелке.

Определим плечи сил:

Плечо силы $P_1$: $d_1 = x_0 - x_1 = 0,5 \text{ м} - 0,1 \text{ м} = 0,4 \text{ м}$.

Плечо силы $P_2$: $d_2 = x_2 - x_0 = 0,6 \text{ м} - 0,5 \text{ м} = 0,1 \text{ м}$.

Плечо силы $F_д$: $d_д = x_д - x_0 = 0,9 \text{ м} - 0,5 \text{ м} = 0,4 \text{ м}$.

Запишем уравнение равновесия моментов:

$M_{\text{против часовой}} = M_{\text{по часовой}}$

$P_1 \cdot d_1 = P_2 \cdot d_2 + F_д \cdot d_д$

$m_1 g d_1 = m_2 g d_2 + F_д d_д$

Выразим из этого уравнения искомую силу $F_д$:

$F_д d_д = m_1 g d_1 - m_2 g d_2$

$F_д = \frac{m_1 g d_1 - m_2 g d_2}{d_д} = g \frac{m_1 d_1 - m_2 d_2}{d_д}$

Подставим числовые значения:

$F_д = 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot \frac{0,40 \text{ кг} \cdot 0,4 \text{ м} - 0,20 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м}}{0,4 \text{ м}}$

$F_д = 10 \cdot \frac{0,16 - 0,02}{0,4} \text{ Н} = 10 \cdot \frac{0,14}{0,4} \text{ Н} = 10 \cdot 0,35 \text{ Н} = 3,5 \text{ Н}$

Ответ: показания динамометра равны 3,5 Н.

Как изменятся показания динамометра, если грузы поменять местами?

Решение:

Теперь груз массой $m_2 = 0,20 \text{ кг}$ находится в точке $x_1 = 10 \text{ см}$, а груз массой $m_1 = 0,40 \text{ кг}$ — в точке $x_2 = 60 \text{ см}$. Динамометр, как и прежде, прикреплен в точке $x_д = 90 \text{ см}$. Ось вращения и плечи сил остаются теми же: $d_1 = 0,4 \text{ м}$, $d_2 = 0,1 \text{ м}$, $d_д = 0,4 \text{ м}$.

В новой конфигурации сила тяжести груза $m_2$ вращает линейку против часовой стрелки, а сила тяжести груза $m_1$ — по часовой. Обозначим новое показание динамометра как $F'_д$.

Уравнение моментов будет выглядеть так:

$m_2 g d_1 = m_1 g d_2 + F'_д d_д$

Выразим отсюда $F'_д$:

$F'_д = \frac{m_2 g d_1 - m_1 g d_2}{d_д} = g \frac{m_2 d_1 - m_1 d_2}{d_д}$

Подставим числовые значения:

$F'_д = 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot \frac{0,20 \text{ кг} \cdot 0,4 \text{ м} - 0,40 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м}}{0,4 \text{ м}}$

$F'_д = 10 \cdot \frac{0,08 - 0,04}{0,4} \text{ Н} = 10 \cdot \frac{0,04}{0,4} \text{ Н} = 10 \cdot 0,1 \text{ Н} = 1 \text{ Н}$

Сравним новое показание с первоначальным: $1 \text{ Н} < 3,5 \text{ Н}$.

Ответ: показания динамометра уменьшатся с 3,5 Н до 1 Н.