Номер 2, страница 127 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

2. Чем длиннее стрела подъемного крана, тем тяжелее противовес, подвешенный к нему (при одном и том же расстоянии от противовеса до вертикальной оси крана). Почему?

Решение

Подъемный кран можно рассматривать как рычаг, который вращается вокруг вертикальной оси опоры. Для того чтобы кран находился в состоянии устойчивого равновесия и не опрокидывался, необходимо соблюдение правила моментов: суммарный момент сил, вращающий кран в одну сторону, должен быть уравновешен (или быть меньше) моментом сил, вращающим его в противоположную сторону.

Момент силы ($M$) вычисляется как произведение модуля силы ($F$) на ее плечо ($d$) — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы:

$M = F \cdot d$

В конструкции крана можно выделить два основных вида моментов:

• Опрокидывающий момент ($M_{опрок}$). Он создается силой тяжести поднимаемого груза, а также силой тяжести части стрелы, находящейся по ту же сторону от опоры, что и груз. Этот момент стремится опрокинуть кран.
• Удерживающий (стабилизирующий) момент ($M_{удерж}$). Он создается силой тяжести противовеса и той частью конструкции, что находится сзади от оси вращения. Этот момент противодействует опрокидывающему моменту.

Условие устойчивости крана можно записать в виде неравенства:

$M_{удерж} \ge M_{опрок}$

Рассмотрим, как связаны эти моменты с длиной стрелы. Опрокидывающий момент складывается из момента, создаваемого грузом ($M_{груза}$), и момента, создаваемого самой стрелой ($M_{стрелы}$):

$M_{опрок} = M_{груза} + M_{стрелы}$

При увеличении длины стрелы происходят следующие изменения:

1. Увеличивается плечо силы тяжести груза. Длинная стрела позволяет поднимать груз на большем расстоянии от оси крана, что приводит к увеличению момента $M_{груза}$.
2. Увеличивается масса самой стрелы, а значит, и ее сила тяжести.
3. Увеличивается плечо силы тяжести самой стрелы, так как ее центр масс смещается дальше от оси вращения.

В результате этих факторов суммарный опрокидывающий момент $M_{опрок}$ значительно возрастает.

Чтобы сохранить устойчивость, необходимо увеличить удерживающий момент $M_{удерж}$, который в основном создается противовесом: $M_{удерж} \approx F_{противовеса} \cdot d_{противовеса}$.

По условию задачи, расстояние от противовеса до вертикальной оси крана ($d_{противовеса}$) остается неизменным. Следовательно, для увеличения удерживающего момента $M_{удерж}$ необходимо увеличить силу тяжести противовеса ($F_{противовеса}$), а значит, и его массу.

Ответ: При увеличении длины стрелы крана возрастает опрокидывающий момент, создаваемый как поднимаемым грузом (за счет увеличения плеча силы), так и самой стрелой (за счет увеличения ее массы и смещения центра масс дальше от оси вращения). Для компенсации этого возросшего опрокидывающего момента и обеспечения устойчивости крана необходимо увеличить удерживающий момент. Поскольку расстояние от противовеса до оси крана остается неизменным, единственным способом это сделать является увеличение массы самого противовеса.