Номер 1, страница 125 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

Разделите пакет сахарного песка массой $m_0 = 900 \text{ г}$ на две порции массами $m_1 = 600 \text{ г}$ и $m_2 = 300 \text{ г}$, используя однородную планку, измерительную ленту, нитки и полиэтиленовый пакет.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Способ разделения сахарного песка на две порции массами 600 г и 300 г с помощью предоставленного оборудования.

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать принцип рычажных весов, основанный на правиле моментов. Рычаг находится в равновесии, если моменты сил, вращающие его по часовой стрелке и против часовой стрелки, равны.

Условие равновесия рычага: $M_1 = M_2$.

Момент силы $M$ определяется как произведение модуля силы $F$ на её плечо $d$: $M = Fd$. В нашем случае сила — это вес сахара, $F = mg$, где $m$ — масса, а $g$ — ускорение свободного падения. Тогда условие равновесия для двух масс $m_A$ и $m_B$, подвешенных на плечах $d_A$ и $d_B$, будет выглядеть так:

$m_A g d_A = m_B g d_B$

Сократив обе части на $g$, получаем основное рабочее соотношение:

$m_A d_A = m_B d_B$ или $\frac{m_A}{m_B} = \frac{d_B}{d_A}$

Это означает, что для равновесия отношение масс должно быть обратно пропорционально отношению плеч.

Нам необходимо разделить общую массу сахара $m_0 = 900$ г на две порции: $m_A = 600$ г и $m_B = 300$ г. Найдем требуемое соотношение масс:

$\frac{m_A}{m_B} = \frac{600 \text{ г}}{300 \text{ г}} = 2$

Следовательно, чтобы система находилась в равновесии, плечи, на которые подвешены грузы, должны удовлетворять соотношению:

$\frac{d_B}{d_A} = 2$, или $d_B = 2d_A$

Алгоритм действий:

1. С помощью измерительной ленты находим центр однородной планки (середину ее длины). Подвешиваем планку на нити за эту точку. Планка должна расположиться горизонтально, так как ее центр тяжести находится в точке подвеса. Эта точка является точкой опоры наших самодельных весов.
2. На планке по обе стороны от точки опоры отмеряем и отмечаем два плеча, одно из которых в два раза длиннее другого. Например, можно выбрать плечо $d_A = 20$ см и плечо $d_B = 40$ см.
3. В качестве емкостей для сахара используем предоставленный полиэтиленовый пакет и, например, пустой пакет, в котором изначально находился сахар. Подвешиваем эти две емкости на нитках к планке в отмеченных точках: одну на плечо $d_A$, другую — на плечо $d_B$. (Предполагаем, что массы пустых емкостей одинаковы или пренебрежимо малы).
4. Высыпаем весь сахар (900 г) в эти две емкости и начинаем пересыпать сахар из одной емкости в другую до тех пор, пока планка не придет в состояние устойчивого равновесия, то есть снова не расположится строго горизонтально.

Когда равновесие будет достигнуто, это будет означать, что массы сахара в емкостях ($m_A$ и $m_B$) и длины плеч ($d_A$ и $d_B$) связаны соотношением $m_A d_A = m_B d_B$. Поскольку мы выбрали $d_B = 2d_A$, то и для масс будет выполняться $m_A = 2m_B$.

Зная, что общая масса сахара $m_A + m_B = 900$ г, получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} m_A = 2m_B \\ m_A + m_B = 900 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$2m_B + m_B = 900$

$3m_B = 900$

$m_B = 300$ г

Тогда масса в другой емкости:

$m_A = 2 \cdot 300 = 600$ г

Таким образом, в емкости, подвешенной на более коротком плече $d_A$, окажется 600 г сахара, а в емкости на длинном плече $d_B$ — 300 г.

Ответ: Необходимо создать рычажные весы из планки, подвесив ее за центр. Затем на плечах, соотносящихся как 1:2, разместить две емкости (например, два пакета). Весь сахар (900 г) следует распределить по этим емкостям так, чтобы рычаг пришел в равновесие. В результате в емкости на коротком плече окажется 600 г сахара, а на длинном — 300 г.