Номер 6, страница 121 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

6. На катушку массой $m = 90 \text{ г}$ намотана нить (рис. 177). Диаметр катушки $D = 6,0 \text{ см}$, радиус намотки нити $r = 2,0 \text{ см}$. Определите силу натяжения $F$ нити, удерживающей катушку в состоянии покоя на наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha = 30^\circ$, $g = 10 \frac{\text{М}}{\text{с}^2}$.

Рис. 177

Дано:

$m = 90$ г
$D = 6.0$ см
$r = 2.0$ см
$\\alpha = 30°$
$g = 10$ м/с²

$m = 0.09$ кг
$D = 0.06$ м
$r = 0.02$ м

Найти:

$F$

Решение:

Поскольку катушка находится в состоянии покоя, она находится в равновесии. Это означает, что сумма моментов всех сил, действующих на катушку, относительно любой оси равна нулю. Для упрощения решения выберем в качестве оси вращения точку касания катушки с наклонной плоскостью. В этом случае моменты силы нормальной реакции опоры $N$ и силы трения покоя $F_{тр}$ равны нулю, так как линии действия этих сил проходят через ось вращения (их плечи равны нулю).

Относительно точки касания вращающие моменты создают две силы: составляющая силы тяжести, параллельная наклонной плоскости, и сила натяжения нити $F$.

1. Момент, создаваемый силой тяжести. Он стремится повернуть катушку по часовой стрелке (скатить вниз). Этот момент создает составляющая силы тяжести, параллельная наклонной плоскости, $F_{||} = mg \\sin{\\alpha}$. Плечо этой силы равно внешнему радиусу катушки $R = D/2$. Таким образом, момент силы тяжести равен:
$M_1 = (mg \\sin{\\alpha}) \\cdot R$

2. Момент, создаваемый силой натяжения $F$. Он стремится повернуть катушку против часовой стрелки (удержать или закатить вверх). Сила $F$ приложена параллельно наклонной плоскости на расстоянии $r$ от центра катушки. Ее плечо относительно точки касания равно разности внешнего и внутреннего радиусов $l = R - r$. Таким образом, момент силы натяжения равен:
$M_2 = F \\cdot (R - r)$

Согласно условию равновесия, моменты, вращающие катушку в противоположных направлениях, должны быть равны по модулю:

$M_1 = M_2$

$mg \\sin{\\alpha} \\cdot R = F \\cdot (R - r)$

Выразим из этого уравнения искомую силу натяжения нити $F$:

$F = \\frac{mg \\sin{\\alpha} \\cdot R}{R - r}$

Рассчитаем внешний радиус катушки $R$ из ее диаметра $D$:

$R = \\frac{D}{2} = \\frac{0.06 \\text{ м}}{2} = 0.03$ м

Теперь подставим все известные значения в полученную формулу, учитывая, что $\\sin{30°} = 0.5$:

$F = \\frac{0.09 \\text{ кг} \\cdot 10 \\frac{\\text{м}}{\\text{с}^2} \\cdot 0.5 \\cdot 0.03 \\text{ м}}{0.03 \\text{ м} - 0.02 \\text{ м}} = \\frac{0.9 \\text{ Н} \\cdot 0.5 \\cdot 0.03 \\text{ м}}{0.01 \\text{ м}} = \\frac{0.0135}{0.01} \\text{ Н} = 1.35$ Н

Ответ: сила натяжения нити $F$ равна 1.35 Н.