Номер 1, страница 121 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

1. Диск может вращаться относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр $O$ (рис. 175). К диску поочередно прикладывают силы $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$, $\vec{F_3}$, $\vec{F_4}$ и $\vec{F_5}$, лежащие в плоскости диска. Модули всех этих сил равны. Определите относительно точки $O$:

а) плечо какой силы самое большое;

б) плечо какой силы равно нулю;

в) моменты каких сил положительны;

г) моменты каких сил отрицательны;

д) какие силы создают одинаковые по абсолютной величине моменты.

Дано:

Диск, способный вращаться вокруг оси, проходящей через его центр $O$.

К диску приложены силы $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4, \vec{F}_5$.

Геометрия сил и точек их приложения задана на сетке. Примем сторону одной клетки сетки за единицу длины $a$. Тогда радиус диска $R = 4a$.

В условии задачи содержится противоречие: в тексте указано, что "Модули всех этих сил равны", однако на рисунке длины векторов сил различны. Для получения осмысленного ответа на все пункты задачи, будем исходить из предположения, что модули сил пропорциональны длинам векторов, изображенных на рисунке, а текстовое условие об их равенстве является ошибкой.

Пусть сила, которой соответствует вектор длиной в 2 клетки (как у $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4$), имеет модуль $F$.

Тогда:

$|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = |\vec{F}_3| = |\vec{F}_4| = F$.

Вектор $\vec{F}_5$ является диагональю квадрата со стороной 2 клетки, его длина составляет $2\sqrt{2}$ клетки. Следовательно, его модуль:

$|\vec{F}_5| = \sqrt{2} F$.

Найти:

а) плечо какой силы самое большое;

б) плечо какой силы равно нулю;

в) моменты каких сил положительны;

г) моменты каких сил отрицательны;

д) какие силы создают одинаковые по абсолютной величине моменты.

Решение:

Момент силы $M$ относительно оси вращения определяется формулой $M = F \cdot d$, где $F$ - модуль силы, а $d$ - плечо силы. Плечо силы - это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Знак момента определяется по правилу: момент считается положительным, если сила вызывает вращение против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке.

Определим плечи для каждой из сил, используя рисунок и приняв сторону клетки за единицу длины $a$. Ось вращения проходит через точку $O(0,0)$.

• Сила $\vec{F}_1$: линия действия силы проходит горизонтально на расстоянии $1a$ выше оси вращения. Плечо $d_1 = a$.

• Сила $\vec{F}_2$: линия действия силы проходит горизонтально на расстоянии $2a$ ниже оси вращения. Плечо $d_2 = 2a$.

• Сила $\vec{F}_3$: линия действия силы (вертикальная прямая) проходит через центр вращения $O$. Плечо $d_3 = 0$.

• Сила $\vec{F}_4$: сила приложена к верхней точке диска и направлена по касательной. Линия ее действия проходит на расстоянии радиуса диска от центра. Плечо $d_4 = R = 4a$.

• Сила $\vec{F}_5$: точка приложения силы находится в точке с координатами $(2a, 2a)$. Вектор силы перпендикулярен радиус-вектору точки приложения, так как их скалярное произведение равно нулю: $\vec{r}_5 \cdot \vec{F}_5 = (2, 2) \cdot (k, -k) = 0$. Следовательно, плечо силы равно расстоянию от центра до точки приложения: $d_5 = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{8a^2} = 2\sqrt{2}a$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

а) плечо какой силы самое большое;

Сравним вычисленные плечи сил: $d_1 = a$, $d_2 = 2a$, $d_3 = 0$, $d_4 = 4a$, $d_5 = 2\sqrt{2}a \approx 2.83a$. Наибольшим является плечо $d_4 = 4a$.

Ответ: самое большое плечо у силы $\vec{F}_4$.

б) плечо какой силы равно нулю;

Плечо силы равно нулю, если линия действия силы проходит через ось вращения. Это условие выполняется для силы $\vec{F}_3$.

Ответ: плечо силы $\vec{F}_3$ равно нулю.

в) моменты каких сил положительны;

Положительный момент создают силы, вращающие диск против часовой стрелки.

• $\vec{F}_1$: вращает по часовой стрелке (момент отрицательный).

• $\vec{F}_2$: вращает против часовой стрелки (момент положительный).

• $\vec{F}_3$: момент равен нулю.

• $\vec{F}_4$: вращает против часовой стрелки (момент положительный).

• $\vec{F}_5$: вращает по часовой стрелке (момент отрицательный).

Ответ: моменты сил $\vec{F}_2$ и $\vec{F}_4$ положительны.

г) моменты каких сил отрицательны;

Отрицательный момент создают силы, вращающие диск по часовой стрелке. Из анализа в предыдущем пункте следует, что это силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_5$.

Ответ: моменты сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_5$ отрицательны.

д) какие силы создают одинаковые по абсолютной величине моменты.

Вычислим абсолютные величины моментов всех сил, используя формулу $|M| = |\vec{F}| \cdot d$ и принятые нами значения для модулей сил и их плеч.

• $|M_1| = |\vec{F}_1| \cdot d_1 = F \cdot a = Fa$.

• $|M_2| = |\vec{F}_2| \cdot d_2 = F \cdot 2a = 2Fa$.

• $|M_3| = |\vec{F}_3| \cdot d_3 = F \cdot 0 = 0$.

• $|M_4| = |\vec{F}_4| \cdot d_4 = F \cdot 4a = 4Fa$.

• $|M_5| = |\vec{F}_5| \cdot d_5 = (\sqrt{2}F) \cdot (2\sqrt{2}a) = 4Fa$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $|M_4| = |M_5| = 4Fa$.

Ответ: силы $\vec{F}_4$ и $\vec{F}_5$ создают одинаковые по абсолютной величине моменты.