Номер 1, страница 132 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

Оцените КПД пандуса, используемого в вашем доме или на другом объекте для перемещения груза:

а) волоком;

б) в багажной коляске.

Для решения данной задачи необходимо сделать некоторые допущения о параметрах пандуса и коэффициентах трения, так как они не заданы в условии. Эти допущения позволят провести оценку КПД.

Дано:

Для оценки КПД примем следующие физически обоснованные параметры:
Геометрия пандуса: выберем стандартный уклон для пандусов, предназначенных для маломобильных групп населения, равный 1:15. Это означает, что на 15 метров длины по горизонтали высота подъема составляет 1 метр.
Случай а) волоком: будем считать, что по пандусу волокут картонную коробку. Коэффициент трения скольжения картона по бетону (типичный материал для пандуса) $\mu \approx 0.4$.
Случай б) в багажной коляске: будем считать, что коляска имеет резиновые колеса, которые катятся по бетонной поверхности. Коэффициент трения качения $k_r \approx 0.8$ мм. Радиус колеса коляски $r \approx 5$ см.

$k_r = 0.8 \text{ мм} = 0.0008 \text{ м}$
$r = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

КПД пандуса $\eta_a$ (волоком) и $\eta_b$ (в багажной коляске).

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) любого механизма, в том числе и наклонной плоскости (пандуса), определяется как отношение полезной работы $A_{полезная}$ к полной (затраченной) работе $A_{затраченная}$.

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$

Полезная работа — это работа, совершаемая против силы тяжести для подъема груза массой $m$ на высоту $h$:

$A_{полезная} = mgh$

Затраченная работа — это работа внешней силы $F$, приложенной параллельно наклонной плоскости для перемещения груза на всю длину пандуса $L$:

$A_{затраченная} = F \cdot L$

Внешняя сила $F$ должна преодолевать скатывающую составляющую силы тяжести $mg \sin \alpha$ и силу трения $F_{тр}$:

$F = mg \sin \alpha + F_{тр}$

где $\alpha$ — угол наклона пандуса. Тогда затраченная работа равна:

$A_{затраченная} = (mg \sin \alpha + F_{тр}) \cdot L$

Учитывая, что высота $h$ и длина $L$ связаны через угол наклона как $h = L \sin \alpha$, формулу для затраченной работы можно переписать:

$A_{затраченная} = mg (L \sin \alpha) + F_{тр}L = mgh + F_{тр}L$

Таким образом, общая формула для КПД пандуса:

$\eta = \frac{mgh}{mgh + F_{тр}L}$

Для пандуса с уклоном 1:15 угол наклона $\alpha$ мал. $\tan \alpha = 1/15$. Для малых углов $\sin \alpha \approx \tan \alpha = 1/15$ и $\cos \alpha \approx 1$. Также можно считать, что длина пандуса $L$ примерно в 15 раз больше его высоты $h$, то есть $L \approx 15h$.

а) волоком

В этом случае сила трения — это сила трения скольжения: $F_{тр} = \mu N$. Сила нормальной реакции опоры на наклонной плоскости равна $N = mg \cos \alpha$.

$F_{тр} = \mu mg \cos \alpha$

Подставим это выражение в формулу для КПД:

$\eta_a = \frac{mgh}{mgh + (\mu mg \cos \alpha)L}$

Сократив на $mg$, получаем:

$\eta_a = \frac{h}{h + \mu L \cos \alpha}$

Теперь подставим принятые нами значения: $L \approx 15h$, $\cos \alpha \approx 1$, $\mu=0.4$.

$\eta_a \approx \frac{h}{h + 0.4 \cdot (15h) \cdot 1} = \frac{h}{h + 6h} = \frac{h}{7h} = \frac{1}{7}$

$\eta_a \approx 0.143$

Ответ: КПД пандуса при перемещении груза волоком составляет примерно $14.3\%$.

б) в багажной коляске

В этом случае сила трения — это сила трения качения. Ее можно рассчитать через приведенный коэффициент трения качения $\mu_r = k_r/r$.

$F_{тр} = \mu_r N = \frac{k_r}{r} mg \cos \alpha$

Рассчитаем $\mu_r$ для наших допущений:

$\mu_r = \frac{k_r}{r} = \frac{0.0008 \text{ м}}{0.05 \text{ м}} = 0.016$

Формула для КПД имеет аналогичный вид:

$\eta_b = \frac{h}{h + \mu_r L \cos \alpha}$

Подставим значения: $L \approx 15h$, $\cos \alpha \approx 1$, $\mu_r=0.016$.

$\eta_b \approx \frac{h}{h + 0.016 \cdot (15h) \cdot 1} = \frac{h}{h + 0.24h} = \frac{h}{1.24h} = \frac{1}{1.24}$

$\eta_b \approx 0.806$

Ответ: КПД пандуса при перемещении груза в багажной коляске составляет примерно $80.6\%$.