Номер 1738, страница 313 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Процесс аннигиляции медленных электрона и позитрона: ${}_{-1}^{0}e + {}_{+1}^{0}e \rightarrow 2\gamma$

Масса покоя электрона (и позитрона), $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8$ м/с

Элементарный заряд, $e \approx 1.6 \times 10^{-19}$ Кл

Найти:

Энергию $E$ каждого фотона.

Модуль импульса $p$ каждого фотона.

Решение:

Аннигиляция — это процесс превращения частицы и античастицы при их столкновении в другие частицы. В данном случае электрон и позитрон аннигилируют, образуя два гамма-кванта (фотона). Для решения задачи воспользуемся законами сохранения энергии и импульса.

1. Закон сохранения импульса.
В условии сказано, что электрон и позитрон медленные. Это означает, что их кинетическая энергия пренебрежимо мала по сравнению с энергией покоя, и мы можем считать их начальные скорости, а следовательно и импульсы, равными нулю. Таким образом, суммарный импульс системы до аннигиляции равен нулю: $\vec{p}_{нач} = \vec{p}_{e^{-}} + \vec{p}_{e^{+}} \approx \vec{0}$.

После аннигиляции образуются два фотона, летящие в разные стороны. Суммарный импульс системы после аннигиляции равен векторной сумме импульсов двух фотонов $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$: $\vec{p}_{кон} = \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}$.

Согласно закону сохранения импульса, $\vec{p}_{нач} = \vec{p}_{кон}$, поэтому: $\vec{0} = \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}$, откуда следует, что $\vec{p}_{1} = -\vec{p}_{2}$.

Это равенство означает, что векторы импульсов фотонов равны по модулю и противоположны по направлению, то есть фотоны разлетаются в строго противоположные стороны. Модули их импульсов равны: $|\vec{p}_{1}| = |\vec{p}_{2}| = p$.

2. Закон сохранения энергии.
Энергия системы до аннигиляции складывается из энергий покоя электрона и позитрона (поскольку их кинетическими энергиями мы пренебрегли): $E_{нач} = E_{0, e^{-}} + E_{0, e^{+}}$. Поскольку позитрон является античастицей электрона, их массы покоя равны: $m_{e^{-}} = m_{e^{+}} = m_e$. Энергия покоя каждой частицы определяется формулой Эйнштейна $E_0 = m_e c^2$. Таким образом, начальная энергия системы: $E_{нач} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2 m_e c^2$.

Энергия системы после аннигиляции равна сумме энергий двух образовавшихся фотонов: $E_{кон} = E_{1} + E_{2}$.

Энергия фотона связана с модулем его импульса соотношением $E = pc$. Так как модули импульсов фотонов равны ($p_1 = p_2 = p$), то их энергии также должны быть равны: $E_1 = p_1 c = pc$ и $E_2 = p_2 c = pc$. Следовательно, $E_1 = E_2 = E$.

Применяя закон сохранения энергии ($E_{нач} = E_{кон}$), получаем: $2 m_e c^2 = E + E = 2E$.

Отсюда находим энергию каждого фотона: $E = m_e c^2$.

Подставим числовые значения: $E = (9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \times 10^8 \text{ м/с})^2 = 9.11 \times 10^{-31} \cdot 9 \times 10^{16} \text{ Дж} \approx 8.2 \times 10^{-14} \text{ Дж}$.

В ядерной физике энергию часто выражают в мегаэлектронвольтах (МэВ). Переведем полученное значение: $E = \frac{8.2 \times 10^{-14} \text{ Дж}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 0.511 \times 10^6 \text{ эВ} = 0.511 \text{ МэВ}$.

Теперь найдем модуль импульса каждого фотона. Из соотношения $E=pc$ следует, что $p = E/c$. Подставив выражение для энергии $E = m_e c^2$, получаем: $p = \frac{m_e c^2}{c} = m_e c$.

Подставим числовые значения: $p = (9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \times 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.73 \times 10^{-22} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: Энергия каждого фотона $E = m_e c^2 \approx 8.2 \times 10^{-14}$ Дж (что эквивалентно 0.511 МэВ); модуль импульса каждого фотона $p = m_e c \approx 2.73 \times 10^{-22}$ кг⋅м/с.