Номер 1735, страница 313 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса покоя электрона (и позитрона), $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Постоянная Планка, $h = 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Найти:

Наименьшую частоту электромагнитного излучения $ν_{min}$

Решение:

Рождение пары частиц «электрон + позитрон» происходит, когда энергия фотона электромагнитного излучения переходит в массу двух частиц. Согласно закону сохранения энергии, энергия фотона $E_γ$ должна быть не меньше, чем суммарная энергия покоя рождающихся частиц (электрона и позитрона).

Энергия фотона связана с его частотой $ν$ соотношением Планка:

$E_γ = hν$

Энергия покоя частицы с массой $m$ определяется формулой Эйнштейна:

$E_0 = mc^2$

Позитрон является античастицей электрона и имеет такую же массу покоя $m_e$. Следовательно, суммарная энергия покоя пары «электрон + позитрон» равна:

$E_{пара} = E_{0,e-} + E_{0,e+} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2m_e c^2$

Наименьшая частота излучения $ν_{min}$ соответствует минимальной энергии фотона, при которой возможно рождение пары. Это происходит, когда вся энергия фотона переходит в энергию покоя частиц, а их кинетическая энергия равна нулю.

Приравниваем энергию фотона к суммарной энергии покоя пары:

$hν_{min} = 2m_e c^2$

Отсюда выражаем наименьшую частоту:

$ν_{min} = \frac{2m_e c^2}{h}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$ν_{min} = \frac{2 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}} = \frac{2 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{6.63 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц}$

$ν_{min} = \frac{163.98 \cdot 10^{-15}}{6.63 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц} \approx 24.73 \cdot 10^{19} \text{ Гц}$

Запишем результат в стандартном виде:

$ν_{min} \approx 2.47 \cdot 10^{20} \text{ Гц}$

Ответ: $ν_{min} \approx 2.47 \cdot 10^{20}$ Гц.