Номер 1728, страница 312 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная кинетическая энергия $\alpha$-частицы: $E_0 = 5.0 \text{ МэВ}$

Конечная кинетическая энергия $\alpha$-частицы: $E_1 = 4.0 \text{ МэВ}$

Масса $\alpha$-частицы: $m_\alpha = 4.0 \text{ а.е.м.}$

Перевод в систему СИ:

$E_0 = 5.0 \times 1.602 \times 10^{-13} \text{ Дж} = 8.01 \times 10^{-13} \text{ Дж}$

$E_1 = 4.0 \times 1.602 \times 10^{-13} \text{ Дж} = 6.408 \times 10^{-13} \text{ Дж}$

$m_\alpha = 4.0 \times 1.66054 \times 10^{-27} \text{ кг} = 6.64216 \times 10^{-27} \text{ кг}$

Найти:

Массу ядра $m$.

Решение:

Рассматривается лобовое упругое соударение $\alpha$-частицы с неподвижным ядром некоторого элемента. В такой системе выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Пусть $m_\alpha$ и $m$ — массы $\alpha$-частицы и ядра соответственно. Начальная скорость $\alpha$-частицы — $v_0$, конечная — $v_1$. Ядро до столкновения покоилось, его скорость после столкновения — $u$. Поскольку $\alpha$-частица отлетает назад, её конечная скорость $v_1$ направлена в сторону, противоположную начальной скорости $v_0$.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на начальное направление движения $\alpha$-частицы:

$m_\alpha v_0 = m u - m_\alpha v_1$

где $v_0, v_1, u$ — модули скоростей. Отсюда:

$m_\alpha (v_0 + v_1) = m u$ (1)

Запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{1}{2} m_\alpha v_0^2 = \frac{1}{2} m_\alpha v_1^2 + \frac{1}{2} m u^2$

$m_\alpha (v_0^2 - v_1^2) = m u^2$

$m_\alpha (v_0 - v_1)(v_0 + v_1) = m u^2$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1), предполагая, что $u \ne 0$ и $v_0+v_1 \ne 0$:

$\frac{m_\alpha (v_0 - v_1)(v_0 + v_1)}{m_\alpha (v_0 + v_1)} = \frac{m u^2}{m u}$

$v_0 - v_1 = u$

Подставим это выражение для $u$ обратно в уравнение (1):

$m_\alpha (v_0 + v_1) = m (v_0 - v_1)$

Выразим отсюда искомую массу ядра $m$:

$m = m_\alpha \frac{v_0 + v_1}{v_0 - v_1}$

Свяжем скорости с кинетическими энергиями. Начальная энергия $E_0 = \frac{1}{2}m_\alpha v_0^2$, конечная энергия $E_1 = \frac{1}{2}m_\alpha v_1^2$. Отсюда модули скоростей равны:

$v_0 = \sqrt{\frac{2E_0}{m_\alpha}}$

$v_1 = \sqrt{\frac{2E_1}{m_\alpha}}$

Подставим выражения для скоростей в формулу для массы $m$:

$m = m_\alpha \frac{\sqrt{\frac{2E_0}{m_\alpha}} + \sqrt{\frac{2E_1}{m_\alpha}}}{\sqrt{\frac{2E_0}{m_\alpha}} - \sqrt{\frac{2E_1}{m_\alpha}}} = m_\alpha \frac{\sqrt{E_0} + \sqrt{E_1}}{\sqrt{E_0} - \sqrt{E_1}}$

Как видно из полученной формулы, результат зависит только от отношения энергий, поэтому можно проводить вычисления, используя данные в МэВ и а.е.м. без перевода в СИ.

Подставим численные значения:

$m = 4.0 \text{ а.е.м.} \times \frac{\sqrt{5.0 \text{ МэВ}} + \sqrt{4.0 \text{ МэВ}}}{\sqrt{5.0 \text{ МэВ}} - \sqrt{4.0 \text{ МэВ}}} = 4.0 \times \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2}$

Выполним вычисления:

$\sqrt{5} \approx 2.236$

$m \approx 4.0 \times \frac{2.236 + 2}{2.236 - 2} = 4.0 \times \frac{4.236}{0.236} \approx 4.0 \times 17.95 \approx 71.8 \text{ а.е.м.}$

С учетом точности исходных данных (2 значащие цифры), округлим результат.

Ответ: $m \approx 72 \text{ а.е.м.}$