Номер 1724, страница 311 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Реакция 1: $^2_1\text{H} + ^3_1\text{H} \rightarrow ^4_2\text{He} + ^1_0\text{n}$

Реакция 2: $^3_1\text{H} + ^3_1\text{H} \rightarrow ^4_2\text{He} + 2^1_0\text{n}$

$Q_1 = 17,6 \text{ МэВ}$

$Q_2 = 11,3 \text{ МэВ}$

$\Delta m_1 = \Delta m(^2_1\text{H}) = 0,00239 \text{ а. е. м.}$

$Q_1 = 17,6 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 17,6 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2,82 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

$Q_2 = 11,3 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 11,3 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1,81 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

$\Delta m_1 = 0,00239 \text{ а. е. м.} = 0,00239 \cdot 1,6605 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 3,97 \cdot 10^{-30} \text{ кг}$

Найти:

$\Delta m_2 = \Delta m(^3_1\text{H}) - ?$

Решение:

Энергетический выход термоядерной реакции $Q$ равен разности суммарной энергии связи образовавшихся частиц и суммарной энергии связи исходных частиц. Энергия связи ядра $E_{св}$ связана с его дефектом массы $\Delta m$ соотношением $E_{св} = \Delta m c^2$. Свободные нуклоны (нейтроны) не имеют энергии связи.

Обозначим дефект массы ядра дейтерия $^2_1\text{H}$ как $\Delta m_1$, ядра трития $^3_1\text{H}$ как $\Delta m_2$ и ядра гелия $^4_2\text{He}$ как $\Delta m_{He}$.

Для первой реакции $^2_1\text{H} + ^3_1\text{H} \rightarrow ^4_2\text{He} + ^1_0\text{n}$ энергетический выход равен:

$Q_1 = E_{св}(^4_2\text{He}) - (E_{св}(^2_1\text{H}) + E_{св}(^3_1\text{H}))$

$Q_1 = (\Delta m_{He} - \Delta m_1 - \Delta m_2)c^2 \quad (1)$

Для второй реакции $^3_1\text{H} + ^3_1\text{H} \rightarrow ^4_2\text{He} + 2^1_0\text{n}$ энергетический выход равен:

$Q_2 = E_{св}(^4_2\text{He}) - (E_{св}(^3_1\text{H}) + E_{св}(^3_1\text{H}))$

$Q_2 = (\Delta m_{He} - 2\Delta m_2)c^2 \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $\Delta m_2$ и $\Delta m_{He}$. Чтобы найти $\Delta m_2$, вычтем из уравнения (1) уравнение (2):

$Q_1 - Q_2 = (\Delta m_{He} - \Delta m_1 - \Delta m_2)c^2 - (\Delta m_{He} - 2\Delta m_2)c^2$

$Q_1 - Q_2 = (\Delta m_{He} - \Delta m_1 - \Delta m_2 - \Delta m_{He} + 2\Delta m_2)c^2$

$Q_1 - Q_2 = (\Delta m_2 - \Delta m_1)c^2$

Выразим из этого уравнения искомый дефект массы $\Delta m_2$:

$\Delta m_2 c^2 = Q_1 - Q_2 + \Delta m_1 c^2$

$\Delta m_2 = \frac{Q_1 - Q_2}{c^2} + \Delta m_1$

Для вычислений воспользуемся энергетическим эквивалентом атомной единицы массы: $1 \text{ а. е. м.} \cdot c^2 \approx 931,5 \text{ МэВ}$. Отсюда $\frac{1}{c^2} \approx \frac{1 \text{ а.е.м.}}{931,5 \text{ МэВ}}$.

Подставим численные значения:

$\Delta m_2 = \frac{17,6 \text{ МэВ} - 11,3 \text{ МэВ}}{931,5 \text{ МэВ/а.е.м.}} + 0,00239 \text{ а. е. м.}$

$\Delta m_2 = \frac{6,3}{931,5} \text{ а. е. м.} + 0,00239 \text{ а. е. м.}$

$\Delta m_2 \approx 0,00676 \text{ а. е. м.} + 0,00239 \text{ а. е. м.} = 0,00915 \text{ а. е. м.}$

Ответ: дефект массы ядра трития составляет $\Delta m_2 \approx 0,00915 \text{ а. е. м.}$.