Номер 1726, страница 312 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Ядерная реакция: $ _3^6Li + _0^1n \rightarrow _1^3H + _2^4He $

Выделившаяся энергия: $ Q = 4,90 \text{ МэВ} $

Кинетическая энергия исходных частиц: $ E_{k, нач} \approx 0 $

Масса ядра трития: $ m_1 = m(_1^3H) \approx 3 \text{ а.е.м.} $

Масса ядра гелия: $ m_2 = m(_2^4He) \approx 4 \text{ а.е.м.} $

$ Q = 4,90 \text{ МэВ} = 4,90 \cdot 1,6 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} = 7,84 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} $

Найти:

$ E_1 - ?, E_2 - ? $

Решение:

Данная задача решается с использованием законов сохранения энергии и импульса.

1. Закон сохранения энергии.

По условию, кинетическая энергия исходных частиц (ядра лития и нейтрона) пренебрежимо мала. Энергия, выделившаяся в ходе реакции ($Q$), полностью переходит в кинетическую энергию продуктов реакции – ядра трития ($ _1^3H $) и ядра гелия ($ _2^4He $). Обозначим их кинетические энергии как $E_1$ и $E_2$ соответственно. Таким образом, можно записать:

$ Q = E_1 + E_2 $ (1)

2. Закон сохранения импульса.

Поскольку начальные частицы покоились (их кинетическая энергия пренебрежимо мала), их суммарный импульс равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс продуктов реакции также должен быть равен нулю. Обозначим импульсы ядра трития и ядра гелия как $ \vec{p_1} $ и $ \vec{p_2} $. Тогда:

$ \vec{p_1} + \vec{p_2} = 0 $

Это означает, что векторы импульсов равны по модулю и противоположны по направлению:

$ p_1 = p_2 $

3. Связь между кинетической энергией и импульсом.

Кинетическая энергия частицы связана с ее импульсом и массой соотношением (в нерелятивистском случае, что здесь применимо):

$ E = \frac{p^2}{2m} $, откуда $ p^2 = 2mE $.

Так как $ p_1^2 = p_2^2 $, мы можем записать:

$ 2m_1E_1 = 2m_2E_2 $

$ m_1E_1 = m_2E_2 $

Отсюда находим отношение кинетических энергий:

$ \frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1} $

Массы ядер можно считать приблизительно пропорциональными их массовым числам (количество нуклонов в ядре). Для трития ($ _1^3H $) массовое число A=3, для гелия ($ _2^4He $) A=4. Таким образом, $ m_1 \approx 3 \text{ а.е.м.} $ и $ m_2 \approx 4 \text{ а.е.м.} $.

$ \frac{E_1}{E_2} = \frac{4}{3} \implies E_1 = \frac{4}{3}E_2 $ (2)

4. Решение системы уравнений.

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):

$ \begin{cases} E_1 + E_2 = Q \\ E_1 = \frac{4}{3}E_2 \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое:

$ \frac{4}{3}E_2 + E_2 = Q $

$ \frac{7}{3}E_2 = Q $

$ E_2 = \frac{3}{7}Q $

Теперь найдем $E_1$:

$ E_1 = Q - E_2 = Q - \frac{3}{7}Q = \frac{4}{7}Q $

5. Вычисления.

Подставим значение $ Q = 4,90 \text{ МэВ} $:

$ E_1 = \frac{4}{7} \cdot 4,90 \text{ МэВ} = 4 \cdot 0,70 \text{ МэВ} = 2,80 \text{ МэВ} $ (энергия ядра трития)

$ E_2 = \frac{3}{7} \cdot 4,90 \text{ МэВ} = 3 \cdot 0,70 \text{ МэВ} = 2,10 \text{ МэВ} $ (энергия ядра гелия)

Проверка: $ 2,80 \text{ МэВ} + 2,10 \text{ МэВ} = 4,90 \text{ МэВ} = Q $.

Ответ: Кинетическая энергия ядра трития $E_1 = 2,80 \text{ МэВ}$, кинетическая энергия ядра гелия $E_2 = 2,10 \text{ МэВ}$.