Номер 1731, страница 312 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Изотоп урана: $_{92}^{235}U$

Мощность АЭС: $P = 5,0 \cdot 10^6 \text{ Вт}$

КПД станции: $\eta = 17\%$

Время работы: $t = 1 \text{ сутки}$

Энергия одного акта распада: $Q_0 = 3,2 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

Молярная масса урана-235: $M \approx 235 \text{ г/моль}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

$\eta = 17\% = 0,17$
$t = 1 \text{ сутки} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$
$M = 235 \text{ г/моль} = 0,235 \text{ кг/моль}$

Найти:

$m$

Решение:

1. Сначала определим полезную энергию $E_{полезн}$, которую атомная электростанция вырабатывает за сутки. Эта энергия равна произведению полезной мощности $P$ на время работы $t$.

$E_{полезн} = P \cdot t$

2. Коэффициент полезного действия (КПД) станции $\eta$ по определению является отношением полезной энергии к полной энергии $E_{полн}$, которая выделяется в ядерном реакторе.

$\eta = \frac{E_{полезн}}{E_{полн}}$

Из этой формулы мы можем выразить полную энергию, которая требуется для получения заданной полезной энергии:

$E_{полн} = \frac{E_{полезн}}{\eta} = \frac{P \cdot t}{\eta}$

3. Полная энергия $E_{полн}$ выделяется в результате большого числа $N$ актов распада ядер урана. Поскольку энергия одного акта распада равна $Q_0$, полная энергия равна:

$E_{полн} = N \cdot Q_0$

4. Теперь мы можем найти общее число $N$ распавшихся ядер, приравняв два выражения для полной энергии:

$N \cdot Q_0 = \frac{P \cdot t}{\eta}$

$N = \frac{P \cdot t}{\eta \cdot Q_0}$

5. Масса вещества $m$ связана с числом его атомов (в данном случае, ядер) $N$ через молярную массу $M$ и постоянную Авогадро $N_A$:

$m = \frac{N \cdot M}{N_A}$

6. Подставим выражение для $N$ из шага 4 в формулу для массы, чтобы получить итоговую расчетную формулу:

$m = \frac{(P \cdot t) \cdot M}{(\eta \cdot Q_0) \cdot N_A} = \frac{P \cdot t \cdot M}{\eta \cdot Q_0 \cdot N_A}$

7. Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи и справочные данные, предварительно переведенные в систему СИ:

$m = \frac{5,0 \cdot 10^6 \text{ Вт} \cdot 86400 \text{ с} \cdot 0,235 \text{ кг/моль}}{0,17 \cdot 3,2 \cdot 10^{-11} \text{ Дж} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}$

Произведем вычисления:

$m = \frac{1,0152 \cdot 10^{11}}{3,276248 \cdot 10^{12}} \text{ кг} \approx 0,030986 \text{ кг}$

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с наименее точными данными в условии ($5,0$; $3,2$), получаем:

$m \approx 0,031 \text{ кг}$

Ответ: масса изотопа урана $^{235}U$, расходуемого за сутки, составляет приблизительно $m \approx 0,031 \text{ кг}$ (или 31 г).