Номер 1727, страница 312 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Ядерная реакция: ${}_{1}^{2}\text{H} + {}_{1}^{2}\text{H} \rightarrow {}_{2}^{4}\text{He} + \gamma$

Энергия $\gamma$-кванта: $E_{\gamma} = 19.7$ МэВ

Энергия покоя $\alpha$-частицы: $E_{0} = 3730$ МэВ

Скорости начальных ядер пренебрежимо малы.

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Элементарный заряд: $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл

$E_{\gamma} = 19.7 \text{ МэВ} = 19.7 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 19.7 \cdot 10^6 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 3.156 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

$E_{0} = 3730 \text{ МэВ} = 3730 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 3730 \cdot 10^6 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 5.975 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$

Найти:

Модуль скорости образовавшейся $\alpha$-частицы $v$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса.

Поскольку по условию скоростями вступающих в реакцию ядер дейтерия ($ {}_{1}^{2}\text{H} $) можно пренебречь, их суммарный начальный импульс равен нулю:

$\vec{p}_{нач} = 0$

После реакции образуются $\alpha$-частица ($ {}_{2}^{4}\text{He} $) и $\gamma$-квант. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы после реакции также должен быть равен нулю:

$\vec{p}_{кон} = \vec{p}_{\alpha} + \vec{p}_{\gamma} = 0$

Из этого векторного уравнения следует, что импульсы $\alpha$-частицы и $\gamma$-кванта равны по модулю и противоположны по направлению:

$p_{\alpha} = p_{\gamma}$

Импульс $\gamma$-кванта (фотона) связан с его энергией $E_{\gamma}$ соотношением:

$p_{\gamma} = \frac{E_{\gamma}}{c}$

где $c$ — скорость света.

В условии указано, что $\alpha$-частица движется медленно по сравнению со скоростью света. Это позволяет использовать для ее импульса нерелятивистскую (классическую) формулу:

$p_{\alpha} = m_{\alpha}v$

где $m_{\alpha}$ — масса $\alpha$-частицы, а $v$ — ее искомая скорость.

Приравнивая модули импульсов, получаем:

$m_{\alpha}v = \frac{E_{\gamma}}{c}$

Отсюда выражаем скорость $v$:

$v = \frac{E_{\gamma}}{m_{\alpha}c}$

Нам дана энергия покоя $\alpha$-частицы $E_{0} = m_{\alpha}c^2$. Из этой формулы можно выразить массу $m_{\alpha} = \frac{E_{0}}{c^2}$. Подставим это выражение в формулу для скорости:

$v = \frac{E_{\gamma}}{(\frac{E_{0}}{c^2})c} = \frac{E_{\gamma}c}{E_{0}}$

Подставим числовые значения из условия. Единицы измерения энергии (МэВ) сокращаются, что упрощает расчет:

$v = \frac{19.7 \text{ МэВ}}{3730 \text{ МэВ}} \cdot c \approx 0.00528 \cdot c$

Результат показывает, что скорость $\alpha$-частицы составляет примерно 0.53% от скорости света, что подтверждает справедливость использования нерелятивистской формулы для импульса.

Теперь вычислим численное значение скорости в системе СИ (м/с), используя значение $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с:

$v \approx 0.00528 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 1.584 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Округлим результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных.

$v \approx 1.58 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Ответ: $v \approx 1.58 \cdot 10^6 \text{ м/с}$.