Номер 1722, страница 311 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Реакция фоторасщепления ядра дейтерия: $^2_1\text{H} + \gamma \rightarrow ^1_1\text{H} + ^1_0n$

Масса атома дейтерия $m_d = 2.014102 \text{ а.е.м.}$

Масса атома водорода (протия) $m_H = 1.007825 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона $m_n = 1.008665 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

Наименьшее значение энергии $\gamma$-кванта $E_\gamma$.

Решение:

Наименьшая энергия $\gamma$-кванта, достаточная для распада ядра, называется пороговой энергией реакции. Эта энергия должна быть достаточной для того, чтобы преодолеть энергию связи нуклонов в ядре, а также сообщить продуктам реакции (протону и нейтрону) кинетическую энергию, необходимую для выполнения закона сохранения импульса.

Запишем законы сохранения энергии и импульса для данной реакции в лабораторной системе отсчета, где ядро дейтерия до взаимодействия покоится.

Закон сохранения энергии:

$E_\gamma + m_d c^2 = m_H c^2 + m_n c^2 + K_{H} + K_{n}$

Здесь $m_d c^2$, $m_H c^2$, $m_n c^2$ – энергии покоя ядра дейтерия, протона и нейтрона соответственно. $K_{H}$ и $K_{n}$ – их кинетические энергии после реакции. Для описания реакции используются массы ядер, но для вычисления дефекта масс можно использовать массы атомов, так как массы электронов сокращаются.

Закон сохранения импульса:

$\vec{p}_\gamma = \vec{p}_H + \vec{p}_n$

где $\vec{p}_\gamma$ – импульс $\gamma$-кванта ($p_\gamma = E_\gamma/c$), а $\vec{p}_H$ и $\vec{p}_n$ – импульсы протона и нейтрона.

Минимальная (пороговая) энергия кванта соответствует случаю, когда протон и нейтрон после реакции движутся с одинаковой скоростью как единое целое. Это минимизирует их суммарную кинетическую энергию.

Для нахождения пороговой энергии наиболее точно можно использовать закон сохранения 4-импульса. Квадрат 4-импульса системы $(P)^2 = (E/c)^2 - \vec{p}^2$ является инвариантом.

$(P_d + P_\gamma)^2 = (P_H + P_n)^2$

В левой части, для покоящегося дейтрона ($p_d=0$) и налетающего фотона ($p_\gamma = E_\gamma/c$):

$(P_d + P_\gamma)^2 = P_d^2 + P_\gamma^2 + 2 P_d \cdot P_\gamma = (m_d c)^2 + 0 + 2 m_d E_\gamma$

В правой части, при пороговой энергии, продукты реакции движутся вместе, и их общая инвариантная масса равна сумме их масс покоя $M = m_H + m_n$. Тогда:

$(P_H + P_n)^2 = (M c)^2 = (m_H + m_n)^2 c^2$

Приравнивая левую и правую части, получаем:

$(m_d c)^2 + 2 m_d E_\gamma = (m_H + m_n)^2 c^2$

Выразим отсюда искомую энергию $E_\gamma$:

$E_\gamma = \frac{((m_H + m_n)^2 - m_d^2) c^2}{2 m_d} = \frac{(m_H + m_n - m_d)(m_H + m_n + m_d) c^2}{2 m_d}$

Величина $E_{св} = (m_H + m_n - m_d) c^2$ представляет собой энергию связи ядра дейтерия. Таким образом, пороговая энергия отличается от энергии связи на множитель, учитывающий отдачу:

$E_\gamma = E_{св} \cdot \frac{m_H + m_n + m_d}{2 m_d}$

Произведем вычисления. Сначала найдем дефект масс $\Delta m$ и энергию связи $E_{св}$:

$\Delta m = (m_H + m_n) - m_d = (1.007825 + 1.008665) - 2.014102 = 2.016490 - 2.014102 = 0.002388 \text{ а.е.м.}$

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2 = 0.002388 \text{ а.е.м.} \times 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 2.22448 \text{ МэВ}$

Теперь вычислим поправочный множитель, используя массы в а.е.м.:

$\frac{m_H + m_n + m_d}{2 m_d} = \frac{2.016490 + 2.014102}{2 \times 2.014102} = \frac{4.030592}{4.028204} \approx 1.0005929$

Найдем пороговую энергию:

$E_\gamma = 2.22448 \text{ МэВ} \cdot 1.0005929 \approx 2.2258 \text{ МэВ}$

Округлим результат до четырех значащих цифр.

Ответ: Наименьшее значение энергии $\gamma$-кванта $E \approx 2.226 \text{ МэВ}$.