Номер 1725, страница 312 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Реакция 1: $_{1}^{1}\text{H} + _{1}^{3}\text{H} \rightarrow _{2}^{4}\text{He} + \gamma$

Реакция 2: $_{1}^{3}\text{H} + _{1}^{3}\text{H} \rightarrow _{2}^{4}\text{He} + 2_{0}^{1}\text{n}$

Дефект масс ядра $_{2}^{4}\text{He}$: $\Delta m = 0.0304 \text{ а. е. м.}$

Энергетический выход реакции 2: $E_2 = 11.3 \text{ МэВ}$

Кинетическими энергиями ядер $_{1}^{1}\text{H}, _{1}^{3}\text{H}, _{2}^{4}\text{He}$ в реакции 1 можно пренебречь.

$\Delta m = 0.0304 \text{ а. е. м.} \approx 0.0304 \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 5.048 \cdot 10^{-29} \text{ кг}$

$E_2 = 11.3 \text{ МэВ} \approx 11.3 \cdot 1.60218 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 1.81 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

Найти:

$E_1$ — энергия $\gamma$-кванта в реакции 1.

Решение:

Запишем закон сохранения энергии для первой ядерной реакции. Поскольку кинетическими энергиями ядер пренебрегаем, вся выделившаяся энергия уносится $\gamma$-квантом. Энергетический выход реакции определяется разностью масс покоя начальных и конечных частиц:

$E_1 = (m(_{1}^{1}\text{H}) + m(_{1}^{3}\text{H}) - m(_{2}^{4}\text{He})) \cdot c^2$

где $m(_{1}^{1}\text{H})$, $m(_{1}^{3}\text{H})$, $m(_{2}^{4}\text{He})$ — массы протона, ядра трития и $\alpha$-частицы соответственно, а $c$ — скорость света в вакууме.

Теперь запишем уравнение для энергетического выхода второй реакции, который по условию равен $E_2$:

$E_2 = (2 \cdot m(_{1}^{3}\text{H}) - m(_{2}^{4}\text{He}) - 2 \cdot m(_{0}^{1}\text{n})) \cdot c^2$

где $m(_{0}^{1}\text{n})$ — масса нейтрона.

Дефект масс $\Delta m$ ядра гелия $_{2}^{4}\text{He}$ по определению равен разности между суммой масс составляющих его нуклонов (2 протона и 2 нейтрона) и массой самого ядра:

$\Delta m = 2 \cdot m(_{1}^{1}\text{H}) + 2 \cdot m(_{0}^{1}\text{n}) - m(_{2}^{4}\text{He})$

Отсюда выразим массу ядра гелия:

$m(_{2}^{4}\text{He}) = 2 \cdot m(_{1}^{1}\text{H}) + 2 \cdot m(_{0}^{1}\text{n}) - \Delta m$

Подставим это выражение для массы ядра гелия в уравнение для энергетического выхода $E_2$:

$E_2 = (2 \cdot m(_{1}^{3}\text{H}) - (2 \cdot m(_{1}^{1}\text{H}) + 2 \cdot m(_{0}^{1}\text{n}) - \Delta m) - 2 \cdot m(_{0}^{1}\text{n})) \cdot c^2$

$E_2 = (2 \cdot m(_{1}^{3}\text{H}) - 2 \cdot m(_{1}^{1}\text{H}) - 4 \cdot m(_{0}^{1}\text{n}) + \Delta m) \cdot c^2$

$E_2 = 2 \cdot (m(_{1}^{3}\text{H}) - m(_{1}^{1}\text{H}) - 2 \cdot m(_{0}^{1}\text{n})) \cdot c^2 + \Delta m \cdot c^2$

Из этого уравнения выразим комбинацию масс, которая нам понадобится в дальнейшем:

$(m(_{1}^{3}\text{H}) - m(_{1}^{1}\text{H}) - 2 \cdot m(_{0}^{1}\text{n})) \cdot c^2 = \frac{E_2 - \Delta m \cdot c^2}{2}$

Теперь вернемся к уравнению для энергии $E_1$ и также подставим в него выражение для массы ядра гелия:

$E_1 = (m(_{1}^{1}\text{H}) + m(_{1}^{3}\text{H}) - (2 \cdot m(_{1}^{1}\text{H}) + 2 \cdot m(_{0}^{1}\text{n}) - \Delta m)) \cdot c^2$

$E_1 = (m(_{1}^{3}\text{H}) - m(_{1}^{1}\text{H}) - 2 \cdot m(_{0}^{1}\text{n}) + \Delta m) \cdot c^2$

$E_1 = (m(_{1}^{3}\text{H}) - m(_{1}^{1}\text{H}) - 2 \cdot m(_{0}^{1}\text{n})) \cdot c^2 + \Delta m \cdot c^2$

Подставим в последнее уравнение ранее найденное выражение:

$E_1 = \frac{E_2 - \Delta m \cdot c^2}{2} + \Delta m \cdot c^2$

$E_1 = \frac{E_2}{2} - \frac{\Delta m \cdot c^2}{2} + \Delta m \cdot c^2 = \frac{E_2 + \Delta m \cdot c^2}{2}$

Перейдем к численным расчетам. Найдем энергию, эквивалентную дефекту масс ядра гелия. Для этого используем соотношение $1 \text{ а. е. м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ}$.

$E_{\Delta m} = \Delta m \cdot c^2 = 0.0304 \cdot 931.5 \text{ МэВ} \approx 28.3 \text{ МэВ}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу для $E_1$:

$E_1 = \frac{11.3 \text{ МэВ} + 28.3 \text{ МэВ}}{2} = \frac{39.6 \text{ МэВ}}{2} = 19.8 \text{ МэВ}$

Ответ: $E_1 = 19.8 \text{ МэВ}$.