Номер 1729, страница 312 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Реакция: $^1_1p + ^7_3Li \rightarrow ^4_2He + ^4_2He$

Кинетическая энергия налетающего протона: $E_{к1} = 5.0 \text{ МэВ}$

Ядро лития $^7_3Li$ покоится: $v_{Li} = 0$

Кинетические энергии двух образовавшихся $\alpha$-частиц равны: $E_{к\alpha1} = E_{к\alpha2} = E_{к2}$

Массы частиц (атомов):

$m_p = m(^{1}_1H) = 1.007825 \text{ а.е.м.}$

$m_{Li} = m(^{7}_3Li) = 7.016004 \text{ а.е.м.}$

$m_{\alpha} = m(^{4}_2He) = 4.002603 \text{ а.е.м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ}$

Перевод в систему СИ:

$E_{к1} = 5.0 \text{ МэВ} = 5.0 \cdot 10^6 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 8.01 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

$1 \text{ а.е.м.} = 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$m_p \approx 1.007825 \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 1.6735 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$m_{Li} \approx 7.016004 \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 1.1650 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$

$m_{\alpha} \approx 4.002603 \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 6.6465 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Найти:

$E_{к2}$ — кинетическую энергию каждой $\alpha$-частицы

$\phi$ — угол разлета $\alpha$-частиц

Решение:

Кинетическая энергия $E_{к2}$ каждой $\alpha$-частицы

Для нахождения кинетической энергии воспользуемся законом сохранения полной энергии. Полная энергия системы до реакции (кинетическая энергия протона плюс энергии покоя протона и ядра лития) равна полной энергии системы после реакции (сумма кинетических энергий двух $\alpha$-частиц плюс их энергии покоя).

$E_{к1} + m_p c^2 + m_{Li} c^2 = E_{к2} + E_{к2} + m_{\alpha} c^2 + m_{\alpha} c^2$

$E_{к1} + (m_p + m_{Li}) c^2 = 2E_{к2} + 2m_{\alpha} c^2$

Отсюда суммарная кинетическая энергия $\alpha$-частиц:

$2E_{к2} = E_{к1} + (m_p + m_{Li} - 2m_{\alpha}) c^2$

Величина $\Delta E = (m_p + m_{Li} - 2m_{\alpha}) c^2$ называется энергетическим выходом реакции. Вычислим его, используя табличные значения масс в атомных единицах массы (а.е.м.). Сначала найдем изменение массы $\Delta m$:

$\Delta m = m_p + m_{Li} - 2m_{\alpha} = 1.007825 \text{ а.е.м.} + 7.016004 \text{ а.е.м.} - 2 \cdot 4.002603 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = 8.023829 \text{ а.е.м.} - 8.005206 \text{ а.е.м.} = 0.018623 \text{ а.е.м.}$

Энергетический выход реакции равен:

$\Delta E = \Delta m \cdot c^2 = 0.018623 \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{c^2} \cdot c^2 \approx 17.346 \text{ МэВ}$

Теперь можем найти суммарную кинетическую энергию $\alpha$-частиц:

$2E_{к2} = E_{к1} + \Delta E = 5.0 \text{ МэВ} + 17.346 \text{ МэВ} = 22.346 \text{ МэВ}$

Следовательно, кинетическая энергия каждой $\alpha$-частицы равна:

$E_{к2} = \frac{22.346 \text{ МэВ}}{2} = 11.173 \text{ МэВ}$

Округляя с учетом точности исходных данных ($5.0$ МэВ), получаем $E_{к2} \approx 11.2 \text{ МэВ}$.

Ответ: Кинетическая энергия каждой $\alpha$-частицы $E_{к2} \approx 11.2 \text{ МэВ}$.

Угол $\phi$ разлета $\alpha$-частиц

Для нахождения угла разлета воспользуемся законом сохранения импульса. Импульс системы до реакции равен импульсу налетающего протона, так как ядро лития покоилось. После реакции суммарный импульс равен векторной сумме импульсов двух $\alpha$-частиц.

$\vec{p}_p = \vec{p}_{\alpha1} + \vec{p}_{\alpha2}$

Так как по условию кинетические энергии $\alpha$-частиц одинаковы ($E_{к\alpha1} = E_{к\alpha2} = E_{к2}$), то их импульсы равны по модулю: $|\vec{p}_{\alpha1}| = |\vec{p}_{\alpha2}| = p_{\alpha}$. Из соображений симметрии $\alpha$-частицы разлетятся под одинаковыми углами $\theta$ к направлению движения первоначального протона. Искомый угол разлета между ними будет $\phi = 2\theta$.

Спроецируем закон сохранения импульса на направление движения протона:

$p_p = p_{\alpha} \cos\theta + p_{\alpha} \cos\theta = 2 p_{\alpha} \cos\theta$

Отсюда $\cos\theta = \frac{p_p}{2p_{\alpha}}$.

Кинетические энергии частиц много меньше их энергий покоя, поэтому используем нерелятивистскую формулу для связи кинетической энергии и импульса $p = \sqrt{2mE_к}$.

$\cos\theta = \frac{\sqrt{2 m_p E_{к1}}}{2 \sqrt{2 m_{\alpha} E_{к2}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m_p E_{к1}}{m_{\alpha} E_{к2}}}$

Подставим числовые значения, используя найденное значение $E_{к2} = 11.173 \text{ МэВ}$ для большей точности промежуточных вычислений:

$\cos\theta = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1.007825 \text{ а.е.м.} \cdot 5.0 \text{ МэВ}}{4.002603 \text{ а.е.м.} \cdot 11.173 \text{ МэВ}}} \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5.0391}{44.718}} \approx \frac{1}{2} \sqrt{0.11269} \approx \frac{1}{2} \cdot 0.3357 \approx 0.16785$

Найдем угол $\theta$:

$\theta = \arccos(0.16785) \approx 80.33^\circ$

Тогда полный угол разлета $\alpha$-частиц:

$\phi = 2\theta = 2 \cdot 80.33^\circ \approx 160.7^\circ$

Округляя, получаем $\phi \approx 161^\circ$.

Ответ: Угол разлета $\alpha$-частиц $\phi \approx 161^\circ$.