Номер 1736, страница 313 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Процесс: аннигиляция электрона ($e^−$) и позитрона ($e^+$)

Количество γ-квантов: $N = 2$

Кинетическая энергия до реакции пренебрежимо мала.

Масса покоя электрона (и позитрона): $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Длину волны γ-излучения $λ$ - ?

Решение:

Аннигиляция электрона и позитрона — это процесс их взаимодействия, в результате которого обе частицы исчезают, а их энергия и импульс передаются другим частицам, в данном случае — двум γ-квантам (фотонам).

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до реакции должна быть равна полной энергии системы после реакции.

1. Энергия системы до реакции.

По условию, кинетической энергией электрона и позитрона до реакции можно пренебречь. Следовательно, их полная энергия равна сумме их энергий покоя. Энергия покоя частицы вычисляется по формуле Эйнштейна $E_0 = mc^2$.

Масса электрона равна массе позитрона ($m_e$). Тогда полная энергия до аннигиляции:

$E_{до} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2m_e c^2$

2. Энергия системы после реакции.

После реакции образовались два одинаковых γ-кванта. Если энергия одного кванта равна $E_γ$, то полная энергия после реакции:

$E_{после} = E_γ + E_γ = 2E_γ$

3. Применение закона сохранения энергии.

Приравниваем энергию до и после реакции:

$E_{до} = E_{после}$

$2m_e c^2 = 2E_γ$

Отсюда находим энергию одного γ-кванта:

$E_γ = m_e c^2$

4. Определение длины волны γ-кванта.

Энергия фотона (γ-кванта) связана с его длиной волны $λ$ соотношением Планка:

$E_γ = \frac{hc}{λ}$

Приравниваем два полученных выражения для энергии γ-кванта:

$m_e c^2 = \frac{hc}{λ}$

Выразим из этого уравнения длину волны $λ$:

$λ = \frac{hc}{m_e c^2} = \frac{h}{m_e c}$

Эта величина известна как комптоновская длина волны электрона.

5. Вычисление.

Подставим числовые значения физических констант в систему СИ:

$λ = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{27.33 \cdot 10^{-23}} \text{ м} \approx 0.242 \cdot 10^{-11} \text{ м} = 2.42 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Длину волны можно также выразить в пикометрах: $1 \text{ пм} = 10^{-12} \text{ м}$. Тогда $λ \approx 2.42$ пм.

Ответ: $λ \approx 2.42 \cdot 10^{-12}$ м.