Номер 1283, страница 289 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1283. Концентрация электронов проводимости в германии при комнатной температуре $n = 3 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3}$. Какую часть составляет число электронов проводимости от общего числа атомов германия? Молярная масса германия $M = 72,5 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$, плотность германия $\rho = 5,4 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

Дано

Концентрация электронов проводимости $n = 3 \cdot 10^{19}$ м⁻³

Молярная масса германия $M = 72,5$ г/моль

Плотность германия $\rho = 5,4$ г/см³

Постоянная Авогадро $N_A \approx 6,02 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹

Перевод в систему СИ:

$M = 72,5 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

$\rho = 5,4 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 5,4 \frac{10^{-3}\text{ кг}}{(10^{-2}\text{ м})^3} = 5,4 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 5400 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Отношение числа электронов проводимости к общему числу атомов германия, $\frac{n}{n_a}$ - ?

Решение

Чтобы найти, какую часть число электронов проводимости составляет от общего числа атомов, необходимо найти отношение их концентраций: $\frac{n}{n_a}$. Концентрация электронов проводимости $n$ дана в условии. Найдем концентрацию атомов германия $n_a$.

Концентрация атомов $n_a$ — это число атомов $N$ в единице объема $V$:

$n_a = \frac{N}{V}$

Число атомов $N$ можно выразить через количество вещества $\nu$ и постоянную Авогадро $N_A$:

$N = \nu \cdot N_A$

Количество вещества $\nu$, в свою очередь, связано с массой $m$ и молярной массой $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

Массу $m$ можно выразить через плотность $\rho$ и объем $V$:

$m = \rho \cdot V$

Объединим формулы, чтобы выразить $n_a$ через известные величины:

$n_a = \frac{N}{V} = \frac{\nu \cdot N_A}{V} = \frac{\frac{m}{M} \cdot N_A}{V} = \frac{\frac{\rho \cdot V}{M} \cdot N_A}{V} = \frac{\rho \cdot N_A}{M}$

Подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$n_a = \frac{5400 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{72,5 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} \approx 4,48 \cdot 10^{28}$ м⁻³

Теперь найдем искомое отношение:

$\frac{n}{n_a} = \frac{3 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3}}{4,48 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}} \approx 0,67 \cdot 10^{-9} = 6,7 \cdot 10^{-10}$

Ответ:

Число электронов проводимости составляет $6,7 \cdot 10^{-10}$ от общего числа атомов германия.