Номер 701, страница 155 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

701. *Сравните электроемкости однородных медного и алюминиевого шаров:

а) равного объема;

б) равной массы.

Шары находятся в воздухе.

Электроемкость уединенного проводящего шара в однородной среде определяется его радиусом и диэлектрической проницаемостью среды. Шары находятся в воздухе, диэлектрическая проницаемость которого практически равна диэлектрической проницаемости вакуума ($\epsilon \approx 1$). Формула для электроемкости шара радиусом $R$ имеет вид:

$C = 4\pi\epsilon_0\epsilon R$

Поскольку оба шара находятся в одинаковой среде (воздух), их электроемкость прямо пропорциональна их радиусам: $C \propto R$. Таким образом, сравнение электроемкостей сводится к сравнению радиусов шаров в каждом из случаев.

а) равного объема

Дано:

Медный шар (индекс 'м')
Алюминиевый шар (индекс 'а')
$V_м = V_а$

Найти:

Сравнить электроемкости $C_м$ и $C_а$.

Решение:

Объем шара радиусом $R$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

По условию объемы шаров равны: $V_м = V_а$.

Следовательно, $\frac{4}{3}\pi R_м^3 = \frac{4}{3}\pi R_а^3$.

Отсюда следует, что радиусы шаров также равны: $R_м = R_а$.

Так как электроемкость шара прямо пропорциональна его радиусу ($C \propto R$), то при равенстве радиусов их электроемкости также будут равны. Материал, из которого сделаны проводящие шары, не влияет на их электроемкость, если их геометрические размеры и среда одинаковы.

$C_м = C_а$

Ответ: Электроемкости шаров равного объема равны.

б) равной массы

Дано:

Медный шар (индекс 'м')
Алюминиевый шар (индекс 'а')
$m_м = m_а$
Плотность меди $\rho_м \approx 8960 \, \text{кг/м}^3$
Плотность алюминия $\rho_а \approx 2700 \, \text{кг/м}^3$

Найти:

Сравнить электроемкости $C_м$ и $C_а$.

Решение:

Масса шара связана с его объемом $V$ и плотностью материала $\rho$ соотношением $m = \rho V$.

Подставим в это соотношение формулу для объема шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$m = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$

По условию массы шаров равны: $m_м = m_а$.

Следовательно, $\rho_м \cdot \frac{4}{3}\pi R_м^3 = \rho_а \cdot \frac{4}{3}\pi R_а^3$.

Упростив выражение, получаем: $\rho_м R_м^3 = \rho_а R_а^3$.

Выразим отношение кубов радиусов:

$\frac{R_а^3}{R_м^3} = \frac{\rho_м}{\rho_а}$

Плотность меди ($\rho_м \approx 8960 \, \text{кг/м}^3$) больше плотности алюминия ($\rho_а \approx 2700 \, \text{кг/м}^3$).

$\rho_м > \rho_а$, следовательно, отношение $\frac{\rho_м}{\rho_а} > 1$.

Это означает, что $\frac{R_а^3}{R_м^3} > 1$, и, соответственно, $R_а > R_м$.

Поскольку электроемкость шара прямо пропорциональна его радиусу ($C \propto R$), шар с большим радиусом будет иметь большую электроемкость. Так как радиус алюминиевого шара больше радиуса медного, то его электроемкость также будет больше.

$C_а > C_м$

Ответ: Электроемкость алюминиевого шара больше, чем электроемкость медного шара равной массы.