Номер 694, страница 152 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

694. *Маленький шарик массой $m = 1,0$ г и зарядом $q = 2,0$ мкКл подвешен на легкой шелковой нити длиной $l = 25$ см. На одной горизонтали с точкой $O$ подвеса на расстоянии $L = 2l$ (рис. 129) от нее в точке $A$ закреплен отрицательный точечный заряд $Q = -2,0$ мкКл. Определите модуль минимальной горизонтальной скорости, которую надо сообщить шарику, чтобы он, двигаясь по дуге, смог достичь ее верхней точки $B$.

Рис. 129

Дано

$m = 1,0 \text{ г} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$q = 2,0 \text{ мкКл} = 2,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$l = 25 \text{ см} = 0,25 \text{ м}$
$L = 2l = 2 \cdot 0,25 \text{ м} = 0,50 \text{ м}$
$Q = -2,0 \text{ мкКл} = -2,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$
$k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$

Найти:

$v_{min}$

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Система является замкнутой, а действующие на шарик сила тяжести и сила Кулона являются потенциальными. Работа силы натяжения нити равна нулю, так как она всегда перпендикулярна вектору скорости шарика.Полная механическая энергия системы состоит из кинетической энергии шарика, его потенциальной энергии в поле тяжести и электростатической потенциальной энергии взаимодействия зарядов $q$ и $Q$.

Запишем закон сохранения энергии для начального (нижняя точка траектории, обозначим 1) и конечного (верхняя точка траектории B, обозначим 2) положений шарика:

$E_1 = E_2$

$E_{k1} + E_{p g1} + E_{p e1} = E_{k2} + E_{p g2} + E_{p e2}$

где $E_k = \frac{mv^2}{2}$ - кинетическая энергия, $E_{pg} = mgh$ - потенциальная энергия в поле тяжести, $E_{pe} = k\frac{qQ}{r}$ - электростатическая потенциальная энергия.

1. Начальное состояние (точка 1):

Шарику сообщают минимальную скорость $v_1 = v_{min}$. Примем этот уровень за нулевой для отсчета потенциальной энергии в поле тяжести, тогда $h_1 = 0$ и $E_{pg1} = 0$.Найдем расстояние $r_1$ между зарядами $q$ и $Q$. Введем систему координат с началом в точке подвеса O. Тогда начальные координаты шарика с зарядом $q$ будут $(0, -l)$, а координаты заряда $Q$ в точке A будут $(-L, 0)$. По теореме Пифагора:

$r_1 = \sqrt{(-L - 0)^2 + (0 - (-l))^2} = \sqrt{L^2 + l^2}$

Так как $L=2l$, то:

$r_1 = \sqrt{(2l)^2 + l^2} = \sqrt{4l^2 + l^2} = \sqrt{5l^2} = l\sqrt{5}$

Полная энергия в начальном состоянии:

$E_1 = \frac{1}{2}mv_{min}^2 + k\frac{qQ}{l\sqrt{5}}$

2. Конечное состояние (точка 2, точка B):

Минимальная начальная скорость означает, что в верхней точке B шарик остановится, то есть его скорость будет равна нулю: $v_2 = 0$, следовательно $E_{k2} = 0$.Высота шарика относительно начального положения составит $h_2 = 2l$. Потенциальная энергия в поле тяжести: $E_{pg2} = mgh_2 = 2mgl$.Найдем расстояние $r_2$ между зарядами. Координаты шарика в точке B: $(0, l)$. Координаты заряда $Q$: $(-L, 0)$.

$r_2 = \sqrt{(-L - 0)^2 + (0 - l)^2} = \sqrt{L^2 + l^2} = \sqrt{(2l)^2 + l^2} = l\sqrt{5}$

Полная энергия в конечном состоянии:

$E_2 = 2mgl + k\frac{qQ}{l\sqrt{5}}$

3. Применение закона сохранения энергии:

Приравняем полную энергию в начальном и конечном состояниях:

$\frac{1}{2}mv_{min}^2 + k\frac{qQ}{l\sqrt{5}} = 2mgl + k\frac{qQ}{l\sqrt{5}}$

Как видно, из-за симметрии начального и конечного положений относительно горизонтали, проходящей через заряд $Q$, расстояния $r_1$ и $r_2$ равны. Поэтому электростатическая потенциальная энергия в начальный и конечный моменты времени одинакова, и эти слагаемые в уравнении сокращаются.

$\frac{1}{2}mv_{min}^2 = 2mgl$

Отсюда выразим минимальную скорость:

$v_{min}^2 = 4gl$

$v_{min} = \sqrt{4gl} = 2\sqrt{gl}$

Подставим числовые значения:

$v_{min} = 2\sqrt{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 0,25 \, \text{м}} = 2\sqrt{2,45} \, \text{м/с} \approx 2 \cdot 1,565 \, \text{м/с} \approx 3,13 \, \text{м/с}$

С учетом значащих цифр исходных данных (две), округляем результат.

Ответ: $v_{min} \approx 3,1 \, \text{м/с}$.