Номер 693, страница 152 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

693. *Маленький шарик массой $m = 0,10 \, \text{кг}$ и зарядом $q = 20 \, \text{мкКл}$ подвешен на легкой шелковой нити длиной $l = 30 \, \text{см}$. На одной вертикали под ним закреплен другой шарик с отрицательным зарядом $Q = -20 \, \text{мкКл}$. Когда нить отклонили на угол $\alpha = 90^\circ$ от вертикали, расстояние между центрами шариков стало $s = 50 \, \text{см}$. Маленький шарик, привязанный к нити, отпустили без начальной скорости. Определите его кинетическую энергию в момент прохождения им положения равновесия.

Дано:

Масса шарика, $m = 0,10$ кг
Заряд шарика, $q = 20$ мкКл = $20 \cdot 10^{-6}$ Кл
Длина нити, $l = 30$ см = $0,30$ м
Заряд закрепленного шарика, $Q = -20$ мкКл = $-20 \cdot 10^{-6}$ Кл
Начальный угол отклонения, $\alpha = 90^\circ$
Начальное расстояние между шариками, $s = 50$ см = $0,50$ м
Начальная скорость, $v_1 = 0$ м/с
Константа в законе Кулона, $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Кинетическую энергию шарика в положении равновесия, $E_k$.

Решение:

На шарик действуют консервативные силы (сила тяжести и сила Кулона) и сила натяжения нити. Работа силы натяжения нити равна нулю, так как она всегда перпендикулярна вектору скорости шарика. Поэтому для системы, состоящей из шарика, Земли и закрепленного заряда, выполняется закон сохранения полной механической и электростатической энергии.

Запишем закон сохранения энергии для двух положений шарика: начального (1) и конечного (2 - положение равновесия, то есть нижняя точка траектории).

$E_1 = E_2$

$E_{k1} + U_{g1} + U_{e1} = E_{k2} + U_{g2} + U_{e2}$

Здесь $E_k$ - кинетическая энергия, $U_g$ - потенциальная энергия в поле тяжести, $U_e$ - электростатическая потенциальная энергия взаимодействия зарядов.

В начальном положении (1) шарик покоится, поэтому его кинетическая энергия $E_{k1} = 0$.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии силы тяжести самое низкое положение шарика (положение 2). Тогда $U_{g2} = 0$. В начальном положении нить отклонена на $90^\circ$, то есть находится в горизонтальном положении. Высота шарика над нулевым уровнем равна длине нити $l$. Таким образом, начальная потенциальная энергия $U_{g1} = mgl$.

Электростатическая потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется формулой $U_e = k \frac{qQ}{r}$, где $r$ — расстояние между зарядами.

В начальном положении расстояние между шариками дано и равно $s$. $U_{e1} = k \frac{qQ}{s}$.

В конечном положении (2) шарик находится на одной вертикали с точкой подвеса и закрепленным зарядом $Q$. Найдем расстояние $r_2$ между шариками в этом положении. Пусть точка подвеса - $O$, а положение заряда $Q$ - точка $P$. Так как $Q$ находится на одной вертикали под точкой подвеса, то в начальном положении точки $O$, $P$ и положение шарика (назовем его $B_1$) образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в точке $O$. Длина нити $l=OB_1$ и расстояние $d=OP$ являются катетами, а расстояние $s=PB_1$ — гипотенузой.

По теореме Пифагора: $s^2 = l^2 + d^2$. Отсюда найдем расстояние $d$ от точки подвеса до заряда $Q$:

$d = \sqrt{s^2 - l^2} = \sqrt{(0,50 \text{ м})^2 - (0,30 \text{ м})^2} = \sqrt{0,25 - 0,09} = \sqrt{0,16} = 0,40$ м.

В положении равновесия (2) шарик находится в точке $B_2$ под точкой подвеса $O$ на расстоянии $l$. Расстояние между зарядами $r_2$ будет равно разности расстояний $d$ и $l$:

$r_2 = d - l = 0,40 \text{ м} - 0,30 \text{ м} = 0,10$ м.

Тогда электростатическая потенциальная энергия в конечном положении: $U_{e2} = k \frac{qQ}{r_2}$.

Подставим все выражения в закон сохранения энергии:

$0 + mgl + k \frac{qQ}{s} = E_{k2} + 0 + k \frac{qQ}{r_2}$

Отсюда выразим искомую кинетическую энергию $E_{k2}$ (обозначим ее $E_k$):

$E_k = mgl + k \frac{qQ}{s} - k \frac{qQ}{r_2} = mgl + k \cdot qQ \cdot (\frac{1}{s} - \frac{1}{r_2})$

Подставим числовые значения:

$E_k = 0,10 \cdot 9,8 \cdot 0,30 + 9 \cdot 10^9 \cdot (20 \cdot 10^{-6}) \cdot (-20 \cdot 10^{-6}) \cdot (\frac{1}{0,50} - \frac{1}{0,10})$

$E_k = 0,294 + 9 \cdot 10^9 \cdot (-400 \cdot 10^{-12}) \cdot (2 - 10)$

$E_k = 0,294 + (-3,6) \cdot (-8)$

$E_k = 0,294 + 28,8 = 29,094$ Дж.

Округлим результат до двух значащих цифр, так как данные в условии задачи даны с двумя значащими цифрами.

$E_k \approx 29$ Дж.

Ответ: $29$ Дж.