Номер 691, страница 151 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

691. *Небольшой шарик массой $m = 9$ г, имеющий заряд $q_0 = 1$ мкКл, подвешен в вакууме на непроводящей легкой нити длиной $l = 40$ см. Над точкой подвеса на расстоянии $h = 30$ см от нее помещен точечный заряд $q = 7$ мкКл (рис. 128). Шарик отклоняют на натянутой нити от положения равновесия до горизонтального положения нити и отпускают. Определите модуль скорости шарика в момент прохождения им положения равновесия.

Рис. 128

Дано:

$m = 9 \text{ г} = 9 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$q_0 = 1 \text{ мкКл} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$l = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$
$h = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$
$q = 7 \text{ мкКл} = 7 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$
$g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$v$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения полной механической энергии. Система является замкнутой, а действующие на шарик сила тяжести и электростатическая сила являются консервативными. Работа силы натяжения нити равна нулю, так как эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости шарика. Поэтому полная энергия шарика, состоящая из кинетической энергии и потенциальных энергий (гравитационной и электростатической), сохраняется.

Полная энергия системы $E$ в любой момент времени равна сумме кинетической энергии $K$, гравитационной потенциальной энергии $U_g$ и электростатической потенциальной энергии $U_e$:

$E = K + U_g + U_e$

Рассмотрим два положения шарика: начальное (горизонтальное положение нити) и конечное (положение равновесия, т.е. нижняя точка траектории).

1. Начальное положение (1):

Шарик отпускают из состояния покоя, поэтому его начальная скорость $v_1 = 0$, и кинетическая энергия $K_1 = 0$.

Выберем нулевой уровень гравитационной потенциальной энергии на высоте точки подвеса. В начальном положении шарик находится на этой же высоте, следовательно, $U_{g1} = 0$.

Расстояние $r_1$ между зарядами $q$ и $q_0$ в начальном положении найдем по теореме Пифагора: $r_1 = \sqrt{h^2 + l^2}$.

Электростатическая потенциальная энергия в начальном положении: $U_{e1} = k \frac{q q_0}{r_1} = k \frac{q q_0}{\sqrt{h^2 + l^2}}$.

Полная начальная энергия системы: $E_1 = K_1 + U_{g1} + U_{e1} = k \frac{q q_0}{\sqrt{h^2 + l^2}}$.

2. Конечное положение (2) - положение равновесия:

В этой точке шарик имеет искомую скорость $v$, его кинетическая энергия равна $K_2 = \frac{m v^2}{2}$.

Шарик находится на расстоянии $l$ ниже точки подвеса, поэтому его гравитационная потенциальная энергия $U_{g2} = -mgl$.

Расстояние $r_2$ между зарядами $q$ и $q_0$ в этом положении: $r_2 = h + l$.

Электростатическая потенциальная энергия: $U_{e2} = k \frac{q q_0}{r_2} = k \frac{q q_0}{h + l}$.

Полная конечная энергия системы: $E_2 = K_2 + U_{g2} + U_{e2} = \frac{m v^2}{2} - mgl + k \frac{q q_0}{h + l}$.

Согласно закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$k \frac{q q_0}{\sqrt{h^2 + l^2}} = \frac{m v^2}{2} - mgl + k \frac{q q_0}{h + l}$

Выразим из этого уравнения квадрат скорости $v^2$:

$\frac{m v^2}{2} = mgl + k \frac{q q_0}{\sqrt{h^2 + l^2}} - k \frac{q q_0}{h+l}$

$\frac{m v^2}{2} = mgl + k q q_0 \left( \frac{1}{\sqrt{h^2 + l^2}} - \frac{1}{h+l} \right)$

$v = \sqrt{2gl + \frac{2k q q_0}{m} \left( \frac{1}{\sqrt{h^2 + l^2}} - \frac{1}{h+l} \right)}$

Произведем вычисления:

$\sqrt{h^2 + l^2} = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2} = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5 \text{ м}$

$h + l = 0.3 + 0.4 = 0.7 \text{ м}$

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.4 + \frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot 7 \cdot 10^{-6} \cdot 1 \cdot 10^{-6}}{9 \cdot 10^{-3}} \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{0.7} \right)}$

$v = \sqrt{8 + \frac{14 \cdot 9 \cdot 10^{-3}}{9 \cdot 10^{-3}} \left( 2 - \frac{10}{7} \right)} = \sqrt{8 + 14 \left( \frac{14-10}{7} \right)} = \sqrt{8 + 14 \cdot \frac{4}{7}}$

$v = \sqrt{8 + 2 \cdot 4} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4 \text{ м/с}$

Ответ: $4 \text{ м/с}$.