Номер 685, страница 149 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

685. *В однородном электростатическом поле, направленном вертикально вниз, закреплен точечный заряд $q_1 = -10 \text{ мкКл}$, а под ним на расстоянии $r = 5,0 \text{ м}$ удерживают маленький шарик массой $m = 5,0 \text{ г}$ и зарядом $q_2 = 4,0 \text{ мкКл}$. Определите модуль минимальной вертикальной скорости, которую надо сообщить шарику, чтобы он долетел до закрепленного заряда, если модуль напряженности электростатического поля $E=10 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$.

Дано:

$q_1 = -10$ мкКл

$q_2 = 4,0$ мкКл

$r = 5,0$ м

$m = 5,0$ г

$E = 10 \frac{кВ}{м}$

$q_1 = -10 \cdot 10^{-6}$ Кл
$q_2 = 4,0 \cdot 10^{-6}$ Кл
$r = 5,0$ м
$m = 5,0 \cdot 10^{-3}$ кг
$E = 10 \cdot 10^3 \frac{В}{м} = 10^4 \frac{В}{м}$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$
$g \approx 10 \frac{м}{с^2}$

Найти:

$v_{min}$

Решение:

На маленький шарик с зарядом $q_2$ при его движении вверх действуют три силы:
1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила со стороны однородного электростатического поля $F_E = q_2 E$. Так как заряд $q_2$ положительный, а поле направлено вниз, эта сила также направлена вниз.
3. Сила кулоновского притяжения со стороны заряда $q_1$, $F_c = k \frac{|q_1 q_2|}{d^2}$, где $d$ – расстояние между зарядами. Так как заряды разноименные ($q_1 < 0, q_2 > 0$), эта сила является силой притяжения и направлена вверх.

Чтобы шарик долетел до закрепленного заряда $q_1$, ему необходимо сообщить начальную скорость, достаточную для преодоления точки, где суммарная сила, действующая на него, равна нулю. В этой точке неустойчивого равновесия сила притяжения $F_c$ уравновешивает сумму сил $F_g$ и $F_E$. Если шарик достигнет этой точки, то дальше сила притяжения станет преобладать, и он будет ускоряться в сторону заряда $q_1$.

Найдем расстояние $d_{eq}$ от заряда $q_1$, на котором силы уравновешиваются:

$F_c = F_g + F_E$

$k \frac{|q_1 q_2|}{d_{eq}^2} = mg + q_2 E$

Отсюда выразим $d_{eq}$:

$d_{eq} = \sqrt{\frac{k |q_1 q_2|}{mg + q_2 E}}$

Подставим числовые значения:

$mg = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 0,05 \text{ Н}$

$q_2 E = 4,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10^4 \frac{В}{м} = 0,04 \text{ Н}$

$k|q_1 q_2| = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot |-10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 4,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}| = 9 \cdot 10^9 \cdot 40 \cdot 10^{-12} \text{ Н} \cdot м^2 = 0,36 \text{ Н} \cdot м^2$

$d_{eq} = \sqrt{\frac{0,36 \text{ Н} \cdot м^2}{0,05 \text{ Н} + 0,04 \text{ Н}}} = \sqrt{\frac{0,36}{0,09}} \text{ м} = \sqrt{4} \text{ м} = 2,0 \text{ м}$

Минимальная начальная скорость $v$ такова, что шарик достигает этой точки равновесия с нулевой скоростью. Для нахождения этой скорости применим закон сохранения полной механической энергии. Система является замкнутой, а все действующие силы (гравитационная и электростатическая) — консервативными.

$K_{нач} + U_{нач} = K_{кон} + U_{кон}$

Начальное состояние: шарик на расстоянии $r$ от $q_1$, скорость $v$. Конечное состояние: шарик на расстоянии $d_{eq}$ от $q_1$, скорость равна нулю.
$K_{нач} = \frac{mv^2}{2}$, $K_{кон} = 0$.

Полная потенциальная энергия складывается из гравитационной, энергии в однородном поле и энергии кулоновского взаимодействия. Выберем начальное положение шарика за нулевой уровень потенциальной энергии для гравитационного и однородного полей.
Начальная потенциальная энергия: $U_{нач} = k\frac{q_1 q_2}{r}$.
Конечная потенциальная энергия: шарик поднялся на высоту $h = r - d_{eq}$.
$U_{кон} = mgh + q_2Eh + k\frac{q_1 q_2}{d_{eq}} = (mg + q_2E)(r-d_{eq}) + k\frac{q_1 q_2}{d_{eq}}$.

Подставляем в закон сохранения энергии:
$\frac{mv^2}{2} + k\frac{q_1 q_2}{r} = (mg + q_2E)(r-d_{eq}) + k\frac{q_1 q_2}{d_{eq}}$
$\frac{mv^2}{2} = (mg + q_2E)(r-d_{eq}) + k q_1 q_2 \left(\frac{1}{d_{eq}} - \frac{1}{r}\right)$

Подставим числовые значения:

$r - d_{eq} = 5,0 \text{ м} - 2,0 \text{ м} = 3,0 \text{ м}$

$mg + q_2E = 0,09 \text{ Н}$

$k q_1 q_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot (-10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (4,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) = -0,36 \text{ Н} \cdot м^2$

$\frac{1}{d_{eq}} - \frac{1}{r} = \frac{1}{2,0 \text{ м}} - \frac{1}{5,0 \text{ м}} = 0,5 - 0,2 = 0,3 \text{ м}^{-1}$

$\frac{m v^2}{2} = (0,09 \text{ Н}) \cdot (3,0 \text{ м}) + (-0,36 \text{ Н} \cdot м^2) \cdot (0,3 \text{ м}^{-1}) = 0,27 \text{ Дж} - 0,108 \text{ Дж} = 0,162 \text{ Дж}$

Теперь найдем скорость $v$:

$v^2 = \frac{2 \cdot 0,162 \text{ Дж}}{m} = \frac{0,324 \text{ Дж}}{5,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}} = 64,8 \frac{м^2}{с^2}$

$v = \sqrt{64,8} \frac{м}{с} \approx 8,0 \frac{м}{с}$

Ответ: $v_{min} = 8,0 \frac{м}{с}$.