Номер 678, страница 148 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

678. *Два одинаковых шарика, имеющие заряд $q = 400 \text{ нКл}$ каждый, соединены невесомой непроводящей пружиной и находятся в вакууме на гладком горизонтальном столе. Вначале шарики удерживают так, что длина сжатой пружины $l_1 = 20 \text{ мм}$. Затем шарики отпускают, и они приходят в движение. Определите жесткость пружины, если максимальная длина растянутой пружины $l_2 = 80 \text{ мм}$, а длина недеформированной пружины $l_0 = 40 \text{ мм}$.

Дано

$q = 400 \text{ нКл} = 400 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

$l_1 = 20 \text{ мм} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

$l_2 = 80 \text{ мм} = 80 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.08 \text{ м}$

$l_0 = 40 \text{ мм} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.04 \text{ м}$

Константа в законе Кулона $k_e = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$k - ?$

Решение

Система, состоящая из двух шариков и пружины, является замкнутой. Поскольку стол гладкий (трение отсутствует), а силы упругости и кулоновского взаимодействия являются консервативными, для данной системы выполняется закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия системы $E$ складывается из кинетической энергии шариков $E_k$, потенциальной энергии упругой деформации пружины $E_{p,упр}$ и потенциальной энергии электростатического взаимодействия шариков $E_{p,эл}$.

$E = E_k + E_{p,упр} + E_{p,эл}$

Рассмотрим два состояния системы:

1. Начальное состояние: пружина сжата до длины $l_1$, шарики удерживают, поэтому они неподвижны.

Скорость шариков равна нулю, следовательно, их кинетическая энергия $E_{k1} = 0$.

Деформация сжатия пружины равна $\Delta l_1 = l_0 - l_1$. Потенциальная энергия пружины: $E_{p,упр,1} = \frac{k(\Delta l_1)^2}{2} = \frac{k(l_0 - l_1)^2}{2}$.

Расстояние между зарядами равно $l_1$. Потенциальная энергия их электростатического взаимодействия: $E_{p,эл,1} = \frac{k_e q^2}{l_1}$.

Полная энергия в начальном состоянии: $E_1 = \frac{k(l_0 - l_1)^2}{2} + \frac{k_e q^2}{l_1}$.

2. Конечное состояние: пружина растянута до максимальной длины $l_2$. В этот момент шарики мгновенно останавливаются, прежде чем начать двигаться в обратном направлении.

Скорость шариков в этот момент равна нулю, поэтому их кинетическая энергия $E_{k2} = 0$.

Деформация растяжения пружины равна $\Delta l_2 = l_2 - l_0$. Потенциальная энергия пружины: $E_{p,упр,2} = \frac{k(\Delta l_2)^2}{2} = \frac{k(l_2 - l_0)^2}{2}$.

Расстояние между зарядами равно $l_2$. Потенциальная энергия их взаимодействия: $E_{p,эл,2} = \frac{k_e q^2}{l_2}$.

Полная энергия в конечном состоянии: $E_2 = \frac{k(l_2 - l_0)^2}{2} + \frac{k_e q^2}{l_2}$.

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$\frac{k(l_0 - l_1)^2}{2} + \frac{k_e q^2}{l_1} = \frac{k(l_2 - l_0)^2}{2} + \frac{k_e q^2}{l_2}$

Выразим из этого уравнения жесткость пружины $k$:

$\frac{k}{2}((l_0 - l_1)^2 - (l_2 - l_0)^2) = \frac{k_e q^2}{l_2} - \frac{k_e q^2}{l_1}$

$\frac{k}{2}((l_0 - l_1)^2 - (l_2 - l_0)^2) = k_e q^2 (\frac{1}{l_2} - \frac{1}{l_1}) = k_e q^2 \frac{l_1 - l_2}{l_1 l_2}$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для левой части уравнения:

$(l_0 - l_1)^2 - (l_2 - l_0)^2 = ((l_0 - l_1) - (l_2 - l_0))((l_0 - l_1) + (l_2 - l_0)) = (2l_0 - l_1 - l_2)(l_2 - l_1)$

Подставим обратно в уравнение:

$\frac{k}{2} (2l_0 - l_1 - l_2)(l_2 - l_1) = k_e q^2 \frac{l_1 - l_2}{l_1 l_2} = -k_e q^2 \frac{l_2 - l_1}{l_1 l_2}$

Сократим на $(l_2 - l_1)$, так как $l_2 \neq l_1$:

$\frac{k}{2} (2l_0 - l_1 - l_2) = - \frac{k_e q^2}{l_1 l_2}$

$k = -\frac{2 k_e q^2}{l_1 l_2 (2l_0 - l_1 - l_2)} = \frac{2 k_e q^2}{l_1 l_2 (l_1 + l_2 - 2l_0)}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$l_1 + l_2 - 2l_0 = 0.02 \text{ м} + 0.08 \text{ м} - 2 \cdot 0.04 \text{ м} = 0.1 \text{ м} - 0.08 \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

$k = \frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл})^2}{0.02 \text{ м} \cdot 0.08 \text{ м} \cdot (0.02 \text{ м})} = \frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot 16 \cdot 10^{-14}}{0.0016 \cdot 0.02} \frac{\text{Н}}{\text{м}} = \frac{288 \cdot 10^{-5}}{3.2 \cdot 10^{-5}} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$k = \frac{288}{3.2} \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 90 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Ответ: жесткость пружины равна 90 Н/м.